Conceptes Clau d'Estadística: Variables, Mesures i Contrastos

Conceptes Bàsics d'Estadística

Tipus de Variables Estadístiques

• Variables qualitatives: nominals i ordinals (taules de freqüència i gràfics de barres, formatge).
• Variables quantitatives: discretes i contínues (mesures de posició i dispersió i gràfics com histograma i diagrama de caixa).

Mesures Estadístiques Clau

Mesures de Posició Central i No Central

• Central: mediana (Q2=50%), moda, mitjana.
• No central: Q0, Q1, Q3 i Q4.

Mesures de Dispersió

• Rang (R)
• Rang interquartílic (RIQ = Q3-Q1)
• Recorregut (Q4-Q0)
• Variància
• Desviació estàndard
• ...

Límits per a la Detecció de Valors Atípics

• Superior: Q3 + 1,5 * RIQ
• Inferior: Q1 - 1,5 * RIQ

Població vs Mostra: Símbols Estadístics

Valors Crítics Z Comuns per a Confiança

1,64 (per a 90%) | 1,96 (per a 95%) | 2,57 (per a 99%)
(Això es coneix com a valor Z)

Càlcul d'Intervals de Confiança (IC)

Càlcul IC per a la Mitjana (σ coneguda/desconeguda)

Marge d'error (me):

• me = Z * ee(x̄)
  Sent Z el nombre d'errors estàndard (ee) que sumem o restem a la mitjana.
• Si coneixem la µ de la població: me = µ ± x̄. Altrament, apliquem l'altra fórmula.
• Error estàndard de la mitjana (σ coneguda): ee(x̄) = σ / √n
• me = Zα * ee(x̄) = (1,64 o 1,96 o 2,57) * ee(x̄)
• Si no coneixem la σ (σ desconeguda): ee(x̄) = s / √n
• En cas de σ desconeguda, usem la distribució t de Student: me = t_n-1,α * ee(x̄)

Càlcul IC per a la Proporció

Marge d'error (me):

• me = Zα * ee(p) = (1,64 o 1,96 o 2,57) * ee(p)
• Error estàndard de la proporció: ee(p) = √[p * (1-p) / n]

Determinació de la Mida Mostral

Mida Mostral per a la Mitjana

n = (Z² * s²) / me²

Mida Mostral per a la Proporció

n = (Z² * p * (1-p)) / me²

Contrast d'Hipòtesi Estadístic

Si rebutgem H₀, podem afirmar que és falsa amb un risc α. Altrament, no direm res.

Esquema General del Contrast

1. Especificar H₀ i H₁.
2. Decidir el risc (α).
3. Calcular l'estadístic de contrast.
4. Buscar el valor crític (Zα, t_n-1,α, χ²...).
5. Comparar l'estadístic i el valor crític.
6. Rebutjar H₀ si l'estadístic cau a la regió crítica.
7. Conclusió.

Contrast Basat en el p-valor

Si p < α, rebutgem H₀.

Contrast de Mitjana amb σ Coneguda

• Estadístic de contrast: Z = (x̄ - µ₀) / (σ / √n)
• Esquema: Seguir l'esquema general. Calcular el valor crític (Z*α) o el p-valor. Rebutgem si p < α o Z > Z*α (per a contrast unilateral dret).

Contrast de Mitjana amb σ Desconeguda

• Estadístic de contrast: t = (x̄ - µ₀) / (s / √n)
• Esquema: Seguir l'esquema general. Calcular el valor crític (T_n-1,α) o el p-valor. Rebutgem si t > T_n-1,α (per a contrast unilateral dret) o si el valor p < α.

Anàlisi de la Relació entre Variables (T3)

Relació Qualitativa - Qualitativa

Anàlisi Exploratòria: Taula de Contingència

Taula que associa diferents factors. És simple.

Mesura d'Associació: V de Cramér

Es basa en la diferència entre les freqüències observades i les freqüències esperades.

• Càlcul Freqüències Esperades: (Total fila * Total columna) / Total general
• Càlcul χ² per casella: (Freqüència observada - Freqüència esperada)² / Freqüència esperada
• V de Cramér: V = √[χ² / (n * (q-1))]
  Sent χ² = suma de totes les caselles, n = nombre total d'observacions i q = el nombre de columnes (o files, el menor).

Interpretació: Com més s'acosti a 0, més independència hi ha; com més s'acosti a 1, més dependència hi ha.

Contrast d'Hipòtesi: χ² de Pearson

Estadístic de contrast: χ² = V² * n * (q-1)

Relació Quantitativa - Quantitativa

Diagrama de Dispersió i Anàlisi Exploratòria

Es distingeix a ull nu si hi ha relació (ordre i sentit).

Coeficient de Correlació Lineal (r)

Mesura la força i direcció de la relació lineal.

• rₓᵧ = [1 / (n-1)] * Σ [(xᵢ - x̄) / sₓ] * [(yᵢ - ȳ) / sᵧ]
  on n és la mida de la mostra i sₓ i sᵧ les desviacions típiques.

Contrast d'Hipòtesi: F de Fisher

• Hipòtesi nul·la: H₀ : ρ = 0 (no hi ha correlació a la població)
• Estadístic de contrast: F = [r² / (1-r²)] * (n-2) ~ F_{1, n-2}

Relació Qualitativa - Quantitativa

Mesura d'Associació: Eta Quadrat (η²)

Mesura la proporció de la variabilitat de la variable quantitativa explicada per la variable qualitativa.

• η² = Suma de Quadrats Entre Grups / Suma de Quadrats Total
• 0 ≤ η² ≤ 1
• η² representa el percentatge de variància explicada.

Anàlisi de Sèries Temporals (T4)

Descomposició Clàssica de Sèries Temporals

Model Multiplicatiu: Yₜ = Tₜ * Eₜ * Sₜ * Iₜ (Tendència * Estacionalitat * Cicle * Irregular)

Càlcul de Mitjanes Mòbils

• MM (senar, p. ex., 7 setmanes): MMₜ = (Yₜ₋₃ + Yₜ₋₂ + Yₜ₋₁ + Yₜ + Yₜ₊₁ + Yₜ₊₂ + Yₜ₊₃) / 7
• MM (parell, p. ex., 4 trimestres): MMₜ = [(Yₜ₋₂/2) + Yₜ₋₁ + Yₜ + (Yₜ₊₁/2)] / 3 (Centrada) o MMₜ = [(Yₜ₋₂/2) + Yₜ₋₁ + Yₜ + Yₜ₊₁ + (Yₜ₊₂/2)] / 4 (No centrada)

Factors d'Ajust Estacional (SAF, IR, SAS)

• Relació Y/T: Yₜ / Tₜ = Sₜ * Iₜ (Factor Estacional-Irregular)
• SAF Preliminar: Calcular Y/T per a cada període (p. ex., cada trimestre de cada any). Per a cada període, eliminar el valor més gran i el més petit i fer la mitjana dels restants.
• Mitjana SAF Preliminar: Sumar els SAF preliminars de tots els períodes i dividir pel nombre de períodes.
• SAF Final: SAF = SAF Preliminar / Mitjana SAF Preliminar (Normalització perquè la mitjana sigui 1).
• Component Irregular (IR): IR = (Y / T) / SAF
• Sèrie Desestacionalitzada (SAS): SAS = Y / SAF