Conceptes Fonamentals de Geometria i Àlgebra Vectorial

1. Definició de Vector

Un vector és un segment orientat. Un vector (p. ex., AB→) té les següents característiques:

• La direcció de la recta on es troba el segment que l'origina.
• El sentit en el qual orientem el segment que l'origina.
• El mòdul (o intensitat), igual a la mesura del segment que l'origina.
• L'origen, punt d'inici del vector.
• L'extrem, punt de finalització del vector.

2. Components d'un Vector

Els components d'un vector amb origen A(x₀, y₀) i extrem B(x, y) són el parell (x - x₀, y - y₀), i s'escriu així: AB→ = (x - x₀, y - y₀).

3. Mòdul d'un Vector

Donat un vector v = AB→, tal que els seus components són v = (x - x₀, y - y₀), el mòdul del vector v és la distància AB. El mòdul del vector v es representa per ||v||, i es calcula mitjançant la fórmula:

||v|| = √((x - x₀)² + (y - y₀)²)

4. Translació de Figures

La figura que ocupa la posició F', que resulta de traslladar tots els punts de la figura que ocupa la posició F, s'anomena figura traslladada des de F segons la translació del vector AB→.

5. Rotació de Figures

La figura que ocupa la posició F', que resulta de rotar i/o girar tots els punts de la figura que ocupa la posició F, s'anomena figura rotada i/o girada des de F segons la rotació i/o gir de centre O i d'obertura A.

6. Simetria Respecte a un Eix

Donada una recta e en el pla i un punt P, s'anomena simètric de P respecte de l'eix de simetria e, el punt P', tal que la recta e és la mediatriu del segment PP'.

7. Criteris de Semblança de Triangles

Dos triangles són semblants si compleixen algun dels següents criteris:

• Criteri 1 (AA): Si dos triangles tenen els angles respectius iguals, són semblants.
• Criteri 2 (LLL): Si dos triangles tenen els costats proporcionals, són semblants.
• Criteri 3 (LAL): Si dos triangles tenen dos costats proporcionals i l'angle comprès entre ells té la mateixa mesura, són semblants.

8. Demostració del Teorema de Pitàgores

Podem calcular la superfície del quadrat gran de dues maneres:

1. Primera manera: Elevat el costat al quadrat:

   S = (b + c)²

2. Segona manera: Calculant la suma de la superfície del quadrat petit i la dels quatre triangles rectangles:

   S = a² + 4 · (b · c / 2)

   Per tant, igualant ambdues expressions:

   (b + c)² = a² + 4 · (b · c / 2)

   Desenvolupant el binomi i simplificant:

   b² + 2bc + c² = a² + 2bc

   Si restem 2bc a ambdós termes de la igualtat, obtindrem el Teorema de Pitàgores:

   a² = b² + c²

9. Teoremes del Catet

En un triangle rectangle, es compleixen les següents relacions (teoremes mètrics):

• Teorema del Catet (primer):

  a/b = b/b' → b² = a · b' → b = √(a · b')

• Teorema del Catet (segon):

  a/c = c/c' → c² = a · c' → c = √(a · c')