Conceptes Matemàtics Essencials: Nombres, Fraccions i Decimals

Conceptes Clau en Matemàtiques de Primària

1. Conversió de Simbologia de Nombres Enters

Per entendre els nombres enters, és fonamental saber com convertir una simbologia formada per un parell de nombres naturals entre claudàtors, com [(a,b)], en un únic nombre amb signe (positiu o negatiu) o sense signe, en el cas del zero. Per aconseguir-ho, realitzem el següent càlcul:

• El nombre enter m corresponent a la classe d’equivalència de (a,b) es representa com:
• m = 0, si a = b
• m = + (a - b), si a > b
• m = - (b - a), si b > a

Per exemple:

• 0 = [(0,0)]
• +1 = [(1,0)]
• -1 = [(0,1)]
• ...i així successivament.

2. Operacions amb Nombres Enters

a) Multiplicació de Nombres Enters Representats per Parells

Siguin (8, 3) i (2, 5) dos parells de punts que representen dos nombres enters. Utilitzant aquests parells de punts, els multipliquem i expressem el resultat en nombres enters:

[(8, 3)] · [(2, 5)] = [(8·2 + 3·5, 8·5 + 3·2)] = [(16 + 15, 40 + 6)] = [(31, 46)]

Si convertim els parells a la seva forma entera, obtenim:

• [(8, 3)] = +5
• [(2, 5)] = -3
• [(31, 46)] = -15

Per tant, la multiplicació es verifica: (+5) · (-3) = -15.

b) Càlculs Addicionals

[El text original no proporciona cap càlcul per a aquesta secció. Es manté el títol per estructura.]

3. El Concepte de Fracció: Interpretació Part-Tot

El concepte de fracció s'introdueix a 4t de Primària, ja que en 3r de Primària es comença a dividir i els alumnes ja estan familiaritzats amb situacions quotidianes que impliquen “mig litre”, “el doble”, “el triple”, etc.

El primer concepte a treballar és el d'unitat. Considerem com a unitat allò que volem repartir en parts iguals. Comencem amb situacions reals i quotidianes on la unitat és discreta (manipulant paquets de galetes, conjunts de boletes, etc.), on pot haver-hi restriccions en les parts a fer.

En els casos sense restriccions, podem trobar situacions en què el nombre de parts coincideix amb el nombre d'elements que componen la unitat discreta, i casos en què el nombre de parts el divideix.

Exemple: Prepararem un berenar amb paquets de 4 galetes de xocolata (la unitat té 4 elements). Cal saber quina part del paquet de galetes es menja un alumne que vol tres galetes?

Inicialment, s'escriurà “tres galetes de quatre”. En aquest primer moment, no s'ha de passar directament a la representació simbòlica de fracció. És important escriure molt (que els alumnes també ho facin) i parlar-ne, fins que sembli normal estalviar temps i espai a la pissarra. Aleshores, espontàniament, ha de sorgir la demanda d'escriure menys. Aquest és el moment d'aprofitar per a introduir la fracció com un simbolisme per estalviar.

Escrivim 3/4 i s'explica que a dalt es col·loca el nombre de parts que agafem (el numerador) i a sota el nombre de parts que formen la unitat (el denominador), el paquet de galetes en aquest cas. Ja està introduïda la nova simbologia.

Lectura de Fraccions

És necessari aprendre a llegir aquestes noves expressions de la manera més clara i ràpida possible. A partir d'exemples i de les propostes dels infants, s'ha d'arribar a la lectura més comuna:

• El numerador s'anomena com a cardinal i el denominador com a ordinal (tres quarts, dos cinquens, un sisè, tres dècims, un onzè, dos dotzens).
• Excepcions: els denominadors 2 i 3, que es llegeixen com a mitjos i terços.

Si l'assignatura s'imparteix en castellà, cal tenir en compte les diferències:

“En las fracciones cuyo denominador sea mayor o igual que 11, se leerá éste añadiendo la terminación –avo al nombre del cardinal (tres onceavos, cuatro veinteavos...).”

4. Referència a Exercicis Anteriors

Aquesta secció fa referència a un exercici previ: “És la 6 de l'altre examen.”

5. Multiplicació de Nombres Decimals

a) Multiplicació d'un Decimal per un Natural de Dues Xifres

Després d'haver assolit la multiplicació de nombres decimals per nombres naturals d'una xifra, passem a la multiplicació d'un nombre decimal per un nombre natural de dues xifres. Per exemple:

“L'alumnat de la nostra classe està agrupat en 14 parelles per a organitzar una festa al col·legi. Si cada parella pot portar 2,83 € per a les despeses, quants diners recollim en total?”

Treballarem amb l'algorisme de llapis i paper explorant possibilitats:

Inicialment, i per la semblança que hi ha amb els nombres naturals, sembla lògic que es multipliqui per 4. Pel que sabem de la multiplicació anterior, obtindrem el resultat de manera senzilla.

El següent pas és recordar que no multiplicarem per 1, sinó per 10. És a dir, no multiplicarem 1 per 3 centèsimes, sinó 10 per 3 centèsimes; 10 per 8 dècimes; i 10 per 2 unitats. Com ja saben que 10 centèsimes fan una dècima, 10 dècimes fan una unitat i 10 unitats fan una desena, tindran 3 dècimes, 8 unitats i 2 desenes com a resultat parcial. Aleshores, com després han de sumar, igual que en la multiplicació de nombres naturals, cal situar aquest resultat al seu lloc, i és per això que el desplacen cap a l'esquerra.

Es practicarà amb més situacions fins que aquesta operació estigui completament assolida i s'utilitzi de manera automàtica.

b) Expressió de Temps en Forma Incomplexa

La quantitat de temps 2 h 34 min 56 s 7' 8'' s'expressa de manera incomplexa o simple en minuts de la següent manera:

• 2 h = 2 · 60 min = 120 min
• 56 s 7' 8'' = 56,78 s (interpretant 7' com 0.7 s i 8'' com 0.08 s)
• 56,78 s = 56,78 · (1/60) min ≈ 0,946333 min
• Total: 2 h 34 min 56 s 7' 8'' = 120 min + 34 min + 0,946333 min = 154,946333 min