Conceptos Fundamentais de Análise Matemática e Xeometría

Posicións relativas de dúas rectas

Dadas dúas rectas, r e s, con vectores de dirección v e w respectivamente, e un vector AB que une un punto A de r con un punto B de s, as súas posicións relativas determínanse polos rangos das matrices formadas polos seus vectores:

• Coincidentes: rango(v, w) = 1 e rango(v, w, AB) = 1
• Paralelas: rango(v, w) = 1 e rango(v, w, AB) = 2
• Córtanse: rango(v, w) = 2 e rango(v, w, AB) = 2
• Crúzanse: rango(v, w) = 2 e rango(v, w, AB) = 3

Fórmulas de distancia

Distancia dun punto P a unha recta r

d(P, r) = |v x AP| / |v|

Onde v é o vector de dirección da recta r e AP é o vector que vai do punto A (na recta r) ao punto P.

Distancia dun punto P(x₁, y₁, z₁) a un plano π

d(P, π) = |ax₁ + by₁ + cz₁ + d| / |n|

Onde n é o vector normal do plano π (n = (a, b, c)).

Distancia entre dous planos paralelos (π e π')

d(π, π') = d(P, π'), onde P é un punto calquera do plano π.

Distancia entre dúas rectas paralelas (r e s)

d(r, s) = d(P, s), onde P é un punto calquera da recta r.

Distancia entre unha recta r e un plano π paralelos

d(r, π) = d(P, π), onde P é un punto calquera da recta r.

Distancia entre dúas rectas r e s que se cruzan

d(r, s) = |det(v, w, AB)| / |v x w|

Onde v e w son os vectores de dirección das rectas r e s respectivamente, e AB é un vector que une un punto A de r con un punto B de s.

Fórmulas de área e volume

Área do paralelogramo ABCD

Área = |AB x AD|

Onde AB e AD son os vectores que forman dous lados adxacentes do paralelogramo.

Área do triángulo ABC

Área = 0.5 × |AB x AC|

Onde AB e AC son os vectores que forman dous lados do triángulo.

Volume do paralelepípedo

Volume = |det(AB, AC, AD)|

Onde AB, AC e AD son os vectores que forman as arestas do paralelepípedo que parten do mesmo vértice.

Volume do tetraedro

Volume = (1/6) × |det(AB, AC, AD)|

Onde AB, AC e AD son os vectores que forman as arestas do tetraedro que parten do mesmo vértice.

Tipos de descontinuidades

Descontinuidade inevitable de primeira especie de salto finito

Adoita darse en funcións definidas por anacos. Os límites laterais son distintos, pero ambos finitos.

Descontinuidade inevitable de primeira especie de salto infinito

A función non está acoutada no punto. Os límites laterais son ou ben un é finito e o outro é +∞ ou -∞, e a función ten unha asíntota vertical no punto.

Descontinuidade inevitable de segunda especie

Un ou os dous límites laterais non existen.

Descontinuidade evitable

Aparece a indeterminación 0/0, que resolta dá un límite finito, pero non coincide co valor da función no punto. Ou ben a función non está definida no punto, e o valor do límite asignarase á función nese punto.

Consecuencias da continuidade

Teorema da acoutación nun punto

Se unha función f é continua en a, entón existe un ámbito de a onde f está acoutada.

Teorema da conservación do signo

Se unha función f é continua en a e f(a) ≠ 0, entón existe un ámbito de a onde f ten o mesmo signo que f(a).

Teorema de Bolzano

Se a función f é continua nun intervalo real [a, b] e signo f(a) ≠ signo f(b), entón existe polo menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Darboux ou dos valores intermedios

Se a función f é continua nun intervalo real [a, b] e k é un valor comprendido entre f(a) e f(b), entón existe polo menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = k.

Teorema da intersección de funcións

Se as funcións f e g son continuas nun intervalo real [a, b] e verifican que f(a) < g(a) e f(b) > g(b), entón existe polo menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = g(c).

Teorema da acoutación nun intervalo pechado

Se a función f é continua nun intervalo real [a, b], está acoutada no devandito intervalo.

Teorema de Weierstrass

Se a función f é continua nun intervalo real [a, b], existen c, d ∈ (a, b) tales que f(c) é o máximo e f(d) é o mínimo de f en [a, b], isto é, f(d) ≤ f(x) ≤ f(c) para todo x ∈ [a, b].

Asíntotas

Asíntota vertical

A súa ecuación é x = a, sendo a a solución da ecuación Denominador(x) = 0 ou Argumento(x) = 0 (para o logaritmo). Calcúlanse os límites laterais para saber se a función tende a +∞ ou -∞ ao achegarse x ao punto a.

Asíntota horizontal

Unha función f ten unha asíntota horizontal cando limx→±∞ f(x) = k. A ecuación é y = k. Unha función non ten asíntota horizontal cando limx→±∞ f(x) = ±∞.

Asíntota oblicua

É unha recta de ecuación y = mx + n á que se aproxima a función cando x → ±∞. Para que se aproxime a y = mx + n, deben verificarse as seguintes condicións:

1. m = limx→±∞ f(x)/x
2. n = limx→±∞ (f(x) − mx)

Consecuencias da derivabilidade

Teorema de Rolle

Sexa f unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b). Se f(a) = f(b), entón existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.

Teorema do valor medio ou de Lagrange

Sexa f unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b), entón existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a).

Aplicacións da derivada

Ecuación da recta tanxente e da recta normal

Ecuación da recta tanxente

y − y₀ = f'(x₀)(x − x₀)

Ecuación da recta normal

y − y₀ = −(x − x₀) / f'(x₀)

Monotonía: crecemento e decrecemento

Unha función f é estritamente crecente en x = a cando f(a + h) > f(a) e f(a − h) < f(a), se h > 0.

Unha función f é estritamente decrecente en x = a cando f(a + h) < f(a) e f(a − h) > f(a), se h > 0.