Correcció i Optimització d'Equacions Algebraiques Lineals i Quadàtiques

Exercicis de Resolució d'Equacions

Resol aquestes equacions:

Equació 1: $5x = 8$

Aquesta equació sembla incompleta o mal transcrita en el procés següent. Analitzem les línies següents com a intents de resolució d'altres problemes.

Equació 2: $(5x-3) - 16$

Això és una expressió, no una equació. Si fos $(5x-3) - 16 = 0$:

• $5x - 19 = 0$
• $5x = 19$
• $x = \frac{19}{5}$

Procés original (amb errors):

5x=40x -24 -16

5x-40x-24-16 (Expressió incompleta)

-35x=-40

X = \frac{-40}{-35} = \frac{8}{7} (La solució original era confusa: X= -40 / -35 = 8/7)

Equació 3: $15(x-1) + 20(x+1) = 0$

Passos corregits:

1. $15x - 15 + 20x + 20 = 0$
2. $(15x + 20x) + (-15 + 20) = 0$
3. $35x + 5 = 0$
4. $35x = -5$
5. $x = \frac{-5}{35} = -\frac{1}{7}$

Solució original confusa: X = -5 / 35 = -1/7

Equació 4: $\frac{2x + 3}{4} = \frac{2(x – 3)}{8}$

Simplificació inicial: $\frac{2(x-3)}{8} = \frac{x-3}{4}$

L'equació esdevé: $\frac{2x + 3}{4} = \frac{x-3}{4}$

Multipliquem per 4:

1. $2x + 3 = x - 3$
2. $2x - x = -3 - 3$
3. $x = -6$

El procés original mostrava passos amb denominadors comuns incorrectes i errors de signe.

Equació 5: $\frac{x}{6} + \frac{x+3}{9} = \frac{x}{30}$

Busquem el mínim comú múltiple (MCM) de 6, 9 i 30, que és 90.

1. Multipliquem tota l'equació per 90: $90\left(\frac{x}{6}\right) + 90\left(\frac{x+3}{9}\right) = 90\left(\frac{x}{30}\right)$
2. $15x + 10(x+3) = 3x$
3. $15x + 10x + 30 = 3x$
4. $25x + 30 = 3x$
5. $25x - 3x = -30$
6. $22x = -30$
7. $x = \frac{-30}{22} = -\frac{15}{11}$

El procés original sembla haver utilitzat un MCM diferent o haver comès errors en la distribució: 15x - 10(x+3) = 3x (Error en el signe del 10).

Equació 6: $\frac{2(x-2)}{4} + \frac{x-4}{10} = 9$

Simplificació: $\frac{x-2}{2} + \frac{x-4}{10} = 9$

El MCM de 2 i 10 és 10.

1. Multipliquem per 10: $10\left(\frac{x-2}{2}\right) + 10\left(\frac{x-4}{10}\right) = 10(9)$
2. $5(x-2) + (x-4) = 90$
3. $5x - 10 + x - 4 = 90$
4. $6x - 14 = 90$
5. $6x = 104$
6. $x = \frac{104}{6} = \frac{52}{3}$

El procés original va utilitzar un MCM de 20 i va arribar a $12x = 208$, que dóna $x = \frac{208}{12} = \frac{52}{3}$. Tot i que el MCM era 20, el resultat final és el mateix.

Equació 7: $\frac{3x-1}{5} - \frac{2x+1}{3} = -1$

El MCM de 5 i 3 és 15.

1. Multipliquem per 15: $15\left(\frac{3x-1}{5}\right) - 15\left(\frac{2x+1}{3}\right) = 15(-1)$
2. $3(3x-1) - 5(2x+1) = -15$
3. $9x - 3 - (10x + 5) = -15$
4. $9x - 3 - 10x - 5 = -15$
5. $-x - 8 = -15$
6. $-x = -15 + 8$
7. $-x = -7$
8. $x = 7$

El procés original va tenir un error de signe en el terme $-5(2x+1)$: 9x -3 -10x +5 = -15 (hauria de ser $-5(2x+1) = -10x - 5$). No obstant això, el resultat final $x=7$ és correcte per la seva versió de l'equació.

Equació 8: $\frac{x - (x-2)}{8} = \frac{2(x-19)}{1}$

Simplificació del numerador esquerre: $x - x + 2 = 2$

L'equació esdevé: $\frac{2}{8} = 2(x-19)$

1. $\frac{1}{4} = 2x - 38$
2. $\frac{1}{4} + 38 = 2x$
3. $\frac{1 + 152}{4} = 2x$
4. $\frac{153}{4} = 2x$
5. $x = \frac{153}{8}$

El procés original va multiplicar per 8 i va arribar a $8x –x +2 = 16x -304$, la qual cosa implica que van multiplicar l'equació original per 8, però van aplicar malament la distribució al costat dret.

Equacions Quadàtiques (Sense Fórmula General)

Equació Q1: $x^2 - 15x + 44 = 0$

Busquem dos nombres que multiplicats donin 44 i sumats donin 15 (o $-15$ si usem la forma factoritzada $(x-a)(x-b)=0$).

Factors de 44: (1, 44), (2, 22), (4, 11).

La suma $4 + 11 = 15$.

Factorització: $(x - 4)(x - 11) = 0$

• $x_1 = 4$
• $x_2 = 11$

El procés original utilitza la fórmula general de manera confusa: $X = \frac{15 \pm \sqrt{225 – 176}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{15 \pm 7}{2}$. Això dóna $x_1 = 11$ i $x_2 = 4$.

Equació Q2: $x^2 + 7x - 144 = 0$

Factors de 144: (1, 144), (2, 72), (3, 48), (4, 36), (6, 24), (8, 18), (9, 16).

La diferència $16 - 9 = 7$.

Factorització: $(x + 16)(x - 9) = 0$

• $x_1 = 9$
• $x_2 = -16$

El procés original utilitza la fórmula general: $X = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 576}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-7 \pm 25}{2}$. Això dóna $x_1 = 9$ i $x_2 = -16$.

Equació Q3: $10x^2 + 17x + 30 = 0$

Discriminant ($\Delta$): $b^2 - 4ac = 17^2 - 4(10)(30) = 289 - 1200 = -911$.

Com que $\Delta < 0$, no té solucions reals.

El procés original arriba a la mateixa conclusió.

Equació Q4: $x^2 - 0.9x + 30 = 0$

Aquesta equació sembla mal transcrita. Si fos $x^2 - 0.9x - 30 = 0$ o similar, es podria resoldre. El procés original utilitza una aplicació errònia de la fórmula general.

Resolució d'Equacions Lineals (Sense Fórmula General)

Equació L1: $6x - 216 = 0$

Resolució:

• $6x = 216$
• $x = \frac{216}{6} = 36$

La solució original era $-6$, incorrecta.

Equació L2: $16x - 4x = 0$

Resolució:

• $12x = 0$
• $x = 0$

La solució original $x=0$ i $x=1/4$ és incorrecta per a aquesta equació lineal.

Equació L3: $x - 3 = 0$

Resolució: $x = 3$

La solució original era $X = -3$, incorrecta.

Equació L4: $\frac{x}{144} - \frac{1}{144} = 0$ (Interpretació de la confusió)

Si l'equació era $\frac{x}{144} - \frac{1}{144} = 0$:

• $x - 1 = 0$
• $x = 1$

La solució original era confusa: $X = -1/114 = -1/12$.