Darboux-en Teorema, Rolle-n Teorema eta Puntu Finkoaren Teorema

Darboux-en Teorema

Izan bedi f(x) [a,b] tartean den funtzio jarraitua. Izan bitez m = min{f(x) / x %IMAGE_1% [a,b]} eta M = max{f(x) / x %IMAGE_2% [a,b]}. Orduan, f(x) funtzioak m eta M artean dauden balio guztiak gutxienez behin hartzen ditu, x %IMAGE_3% [a; b] denean.

Frogapena

Izan bedi f(x) [a,b] tartean jarraitua den funtzioa. Weierstrass-en teoremaren arabera, f(x) funtzioak [a,b] tartean bere maximoa M eta bere minimoa m hartzen ditu, hau da:
Badaude z1, z2 balioak non m = f(z1), z1 %IMAGE_4% [a,b] eta M = f(z2); z2 %IMAGE_5% [a,b] diren.
Demagun z1 2 dela. Izan bedi R m baldintza betetzen duen edozein balio.

Defini dezagun ondoko funtzioa: g(x) = f(x) - R; %IMAGE_6% x %IMAGE_7% [z1,z2]
g(x) funtzioa jarraitua da [z1; z2] tartean f(x) jarraitua delako. Horrez gain, g(x)-ek Bolzano-ren teoremako gainontzeko hipotesiak betetzen ditu:

g(z1) = f(z1) - R = m - R < 0 bolzano
g(z2) = f(z2) - R = M - R > 0 ------> z %IMAGE_9% (z1,z2) non g(z) = 0 den

Beraz: g(z) = f(z) - R = 0 <--> f(z) = R

Darboux-en teoremak ez du bakartasuna bermatzen.

Rolle-n Teorema -k dio y(x) jarraitua bada [a,b] tartean, deribagarria (a,b) tartean eta f(a) = f(b) bada, orduan existituko da c %IMAGE_10% (a,b) y'(c) = 0 den.

Frogapena

Funtzioa konstantea bada [a,b] tartean frogapena berehalakoa da y'(x) = 0 %IMAGE_11% x %IMAGE_12% (a,b) delako. Baldin funtzioa konstantea ez bada, honek hartuko ditu y(a) = y(b) balioaren desberdinak diren beste balioak. Demagun funtzioak hartzen dituela y(a) balio baino handiagoak diren beste balioak. y(x) jarraitua denez [a,b] tartean, Weierstrassen teorema aplikatuz, y(x)-k bere balio maximoa den M lortzen du [a,b] tartean. Baldin maximoa M %IMAGE_13% y(a) bada, betetzen da:

Batezbesteko Abiadura [a,b] tartean definituta dagoen y(x) funtzioa hartuz, beti existituko da %IMAGE_15%

Frogapena

Puntu Finkoaren Teorema y(x) jarraitua %IMAGE_16% x %IMAGE_17% [a,b], eta y(x) %IMAGE_18% [a,b] bada, orduan x = y(x) ekuazioak gutxienez soluzio bat du [a,b] tartean. Puntu Finkoaren Bakartasuna existitzen bada %IMAGE_19%

eta baldin badago K bat 0 < 1

orduan [a,b] tartean dagoen puntu finkoa bakarra da.

Frogapena Baldin y(a) = a edo y(b) = b badira, orduan y(x)-k puntu finko bat du tarteko mutur batean. Hala ez balitz, y(x) [a,b] denez, orduan y(a) > a eta y(b)

h(x) jarraitua da [a,b] tartean y(x) jarraitua delako.

h(a) = y(a) - x > 0, h(b) = y(b) - b

Beraz, existitzen da z %IMAGE_22% [a,b] non h(z) = 0