Didàctica de la Matemàtica: Conceptes i Aplicacions

Examen Final: Didàctica de la Matemàtica

1. Definició de Guy Brousseau de Didàctica de la Matemàtica

La Didàctica de la Matemàtica és la ciència de les condicions de creació i difusió dels coneixements matemàtics. Cal entendre la creació no en el sentit de la primera aparició històrica, sinó com a recreació, és a dir, com el plaer de descobrir diferents formes i mètodes d'ensenyar matemàtiques.

2. Tipus de Coneixement Lògico-Matemàtic

El coneixement lògico-matemàtic és fruit d'una activitat interna del nen o nena, d'una abstracció reflexiva a partir de les relacions amb els objectes. El pensament dels alumnes d'Educació Primària (6-11 anys) és concret, per tant, no poden obtenir aquest coneixement per transmissió verbal. Les explicacions del professor a tota la classe no són el recurs didàctic idoni, ja que el nen o nena no té capacitat abstracta suficient per a comprendre els conceptes matemàtics només a partir de paraules; el màxim que pot obtenir així és l'adquisició d'automatismes.

3. Problema: Nombre de Dues Xifres

Comprendre el problema:

Tenim un nombre de dues xifres on les incògnites són les xifres. Cal expressar-lo mitjançant la seva descomposició polinòmica 10·x + y, on x és la xifra de les desenes i y la de les unitats. Les dades venen en funció de dues informacions:

1. La suma de les xifres és 15.
2. Si intercanviem l'ordre de les xifres, la diferència entre l'inicial i el nou nombre és de 9 unitats.

Desenvolupar un pla:

1. Transformar les dues informacions al llenguatge algebraic i obtenir dues equacions.
2. Resoldre el sistema de dues equacions amb dues incògnites.

Executar el pla:

1. Transformació al llenguatge algebraic:
   • 1a informació: x + y = 15
   • 2a informació: 10x + y - (10y + x) = 9
2. Resolució del sistema: (No es mostra la resolució completa aquí, però s'arriba a x=8, y=7)

Examinar el pla:

Cal verificar les dues condicions de l'enunciat:

1. x + y = 8 + 7 = 15 (Correcte, però l'enunciat original tenia un error, deia 17)
2. 87 - 78 = 9 (Correcte)

Es pot concloure que la solució és correcta.

4. Definició de Nombre Natural (Cantor)

Si tenim A i B, dos conjunts finits arbitraris, direm que són coordinables, equipotents o equipol·lents (A R B) si existeix una bijecció amb la qual es pot establir una relació binària d'equivalència. La propietat comuna de tots els conjunts finits d'una classe d'equivalència rep el nom de NOMBRE NATURAL (nombre zero: classe d'equivalència dels conjunts buits; nombre u: classe d'equivalència dels conjunts amb un element...). Un conjunt A pertany a la classe m si card(A) = m. Aquesta formalització dels nombres naturals es va fer a partir de la teoria de conjunts, al final del segle XIX, per G. Cantor.

5. Sistema de Numeració en Base 7

Per obtenir l'expressió en base 7 de la quantitat 2011, cal dividir successivament 2011 per 7, utilitzant blocs multibase per a representar les divisions i els residus. (El procés complet no es detalla aquí, però implica divisions successives i l'ús dels blocs).

6. Fase de Traducció Simbòlica de l'Addició

Aquesta fase correspon al primer moment de la introducció de l'operació d'addició. Es tracta de traduir a símbols matemàtics (+) i (=) les accions realitzades prèviament amb materials concrets. (Més detall es trobaria a l'examen parcial).

7. Algorisme Estàndard de la Resta (65-38)

L'explicació detallada de l'algorisme 65-38 amb l'ús de dos àbacs es troba a l'examen parcial. Es basa en la descomposició dels nombres i la manipulació de les unitats i desenes en els àbacs per a visualitzar el procés de "portar-ne".

8. Taules de Multiplicació

a. Tractament i Curs:

Les taules de multiplicar s'introdueixen a segon de primària, després d'un treball previ de manipulació d'objectes quotidians. Es construeixen com a eina per a recollir els resultats de les multiplicacions i facilitar la memorització posterior dels productes més usuals.

b) (Aquesta pregunta es refereix a un altre examen i no es pot respondre sense el context complet).

9. Propietats dels Múltiples

1. Qualsevol nombre sempre és múltiple de si mateix. Justificació: 6 = 6 x 1 (exemple genèric: n = n x 1).
2. La suma (o diferència) de múltiples d'un nombre és també múltiple d'aquest nombre. Justificació: Si a i b són múltiples de n, llavors a = kn i b = mn, per a alguns enters k i m. Per tant, a + b = kn + mn = (k + m)n, que és múltiple de n.
3. El producte de múltiples d'un nombre és també múltiple d'aquest nombre. Justificació: Si a i b són múltiples de n, llavors a = kn i b = mn. Per tant, a x b = (kn)(mn) = (km)n² = (kmn)n, que és múltiple de n.
4. Si un nombre és múltiple d'un altre, i aquest ho és d'un tercer, el primer nombre és múltiple del tercer. Justificació: Si a és múltiple de b, llavors a = kb. Si b és múltiple de c, llavors b = mc. Substituint, a = k(mc) = (km)c, que és múltiple de c.

10. Problema: Envasat d'Oli (Mètode de Polya)

(Aquest problema es resol a l'examen parcial. S'apliquen les fases de Polya: comprendre el problema, desenvolupar un pla, executar el pla i examinar la solució). Es busca el màxim comú divisor (MCD) de 420 i 225 per a determinar la capacitat màxima de les garrafes.

Càlcul del MCD(420, 225):

mcd(420, 225) = 3 · 5 = 15

Les garrafes han de ser de 15 litres.

Nombre d'envasos:

• 420 / 15 = 28 envasos
• 225 / 15 = 15 envasos

Total: 28 + 15 = 43 garrafes.