Essentiële Concepten en Oefeningen voor Exponentiële en Logaritmische Functies

1. Grafiek en Inverse Functie

• Teken $f(x) = a^x$ of $\log_a(x)$
• Voer de horizontale lijntest uit $\rightarrow$ Is de functie inverteerbaar?
• Bepaal de inverse: $y = a^x \Leftrightarrow x = \log_a(y)$

2. Voorschrift Bepalen

• Bepaal uit een tabel of grafiek of de functie exponentieel of logaritmisch is.
• Zoek de basis $a$ via een gegeven punt:
  • Exponentieel: $f(x) = a^x$
  • Logaritmisch: $f(x) = \log_a(x) \rightarrow a^y = x$

3. Vergelijkingen Oplossen

• Zijn de grondtallen gelijk? $\rightarrow$ Vergelijk de exponenten.
• Zijn de grondtallen verschillend? $\rightarrow$ Neem de logaritme aan beide zijden.
• Vergeet de bestaansvoorwaarden (BVW) niet (bv. de argumenten van de logaritme moeten groter dan 0 zijn).

4. Equivalenties Controleren

• Wat is het gedrag van de functie ($f$ stijgend of dalend)?
  • Als $a > 1 \rightarrow$ stijgend
  • Als $0 < a < 1 \rightarrow$ dalend
• Alleen dan geldt de equivalentie: $$a^x = a^c \Leftrightarrow x = c$$

5. Ongelijkheden

• Maak een schets van de grafiek of redeneer over het gedrag:
  • Als de functie stijgend is $\rightarrow$ het ongelijkheidsteken blijft hetzelfde.
  • Als de functie dalend is $\rightarrow$ het ongelijkheidsteken keert om.

6. Transformaties van Exponentiële Functies

• Algemene vorm: $f(x) = b \cdot a^{(x - p)} + q$
  • $p =$ horizontale verschuiving
  • $b =$ spiegeling en/of verticale uitrekking/samentrekking
  • $q =$ verticale verschuiving
• Horizontale asymptoot: $y = q$

7. Toepassingen

• Groei/verval: $N(t) = N_0 \cdot a^t$
• Halveringstijd: $N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{(t/T_{1/2})}$
• Interest: $K = K_0 \cdot (1 + i)^t \rightarrow$ Gebruik logaritmen om $t$ te vinden.

Voorbeelden en Oefeningen

De grafiek van $f$ bevat het punt $(81, 4)$. Stel het voorschrift van $f$ op als $f(x) = \log_a(x)$.

Antwoord: $a^4 = 81 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow f(x) = \log_3(x)$

Los op: $\log_5(x – 2) = \log_5(3x + 4)$

Stap: $x – 2 = 3x + 4$

Oplossing: $x = –3$. (Controleer BVW: zijn beide argumenten $> 0$? Nee, dus geen oplossing.)

Vereenvoudig: $\log_2(8x^2) – \log_2(2x)$

Antwoord: $\log_2\left(\frac{8x^2}{2x}\right) = \log_2(4x)$

Los op: $\log_4(x + 1) > \log_4(2x – 3)$

Stap 1 (Vergelijken): $x + 1 > 2x – 3 \Rightarrow x < 4$

• Stap 2 (BVW): $x + 1 > 0$ en $2x – 3 > 0 \Rightarrow x > -1$ en $x > 1.5$.
• Definitieve oplossing: $1.5 < x < 4$

Orden van klein naar groot: $\log_2(50), \log_2(8), \log_2(100)$

Schatting: $\log_2(8) = 3$ ($2^5 = 32 \rightarrow \log_2(50)$ iets boven 5; $2^6 = 64 \rightarrow \log_2(100)$ iets onder 7)

Antwoord: $\log_2(8) < \log_2(50) < \log_2(100)$

Supplementaire Trigonometrische Relaties

• Supplementair: $\sin(\pi – x) = \sin(x)$, $\cos(\pi – x) = –\cos(x)$, $\tan(\pi−x)=−\tan(x)$
• Antisupplementair: $\sin(\pi + x) = –\sin(x)$, $\cos(\pi + x) = –\cos(x)$, $\tan(\pi+x)=\tan(x)$
• Complementair: $\sin(\pi/2 – x) = \cos(x)$, $\cot(x) = 1/\tan(x)$
• Anticomplementair: $\sin(\pi/2 + x) = \cos(x)$, $-\cot(x) = 1/\tan(x)$
• Volledige draaiing: $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$, $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$, $\tan(x+\pi)=\tan(x)$
• Conversie: graden naar radialen: $\times \pi/180$
• Conversie: radialen naar graden: $\times 180/\pi$

Basisregels voor Limieten

• $$\lim_{x\to c}(c) = c$$
• $$\lim_{x\to c}(f + g) = \lim f + \lim g$$
• $$\lim_{x\to c}(f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$$
• $$\lim_{x\to c}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{\lim f}{\lim g} \quad \text{(als } \lim g \neq 0 \text{)}$$
• Gebruik bij onbepaaldheden:
  • Herleiden
  • Splitsen
  • Vermenigvuldigen met toegevoegde term

Asymptoten en Limieten

Classificatie van Limieten

• Eindige limiet: Een functie nadert een bepaald getal. Voorbeeld: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$.
• Oneindige limiet: De functie stijgt of daalt zonder grens. Voorbeeld: $\lim_{x\to 2^+} f(x) = +\infty$.
• Links- en rechtslimieten: Links: $\lim_{x\to a^-} f(x)$, Rechts: $\lim_{x\to a^+} f(x)$. Nodig bij sprongen of asymptoten.
• Limiet op oneindig: Het gedrag van een functie als $x$ heel groot of klein wordt. Voorbeeld: $\lim_{x\to \infty} f(x)$.
• Onbepaaldheid (zoals $0/0$ of $\infty/\infty$): Vereist herschrijven (herleiden, splitsen, toegevoegde term, enz.).