Exercicis Resolts d'Ones: Guia Completa amb Solucions

Exercicis Resolts d'Ones i Vibracions

A continuació, es presenten les solucions a diversos problemes relacionats amb ones i vibracions:

1. Energia Mecànica i Oscil·lacions

   14. a) Emec = Ec + Ep. De la gràfica: Ec(x=0) = 10J; Ec(x=0,20) = 0 J; per tant, Ep(x=0) = 0J, Ep(x=0,20) = 10J. L'energia mecànica es conserva: Ep = 1/2 · k · x²; A = 0,20m, Epmax = 1/2 · k · A² -> k = (2 · Epmax) / A² = 2 · 10 / 0,20² = 500 N/m. b) k = m · w², w = 2π · f, m = k / (4π² · f²) = 0,050kg.

2. Ones Transversals

   15. a) Dibuix (4 nodes + 3 ventres) distància (12m), λ = 2d = 8m, Amax = 1/2 = 0,5cm. b) y(x,t) = A · sin(wt - k · x + φ), k = 2π / λ = π/4 m-1, w = 2 · π · f = 60π rad/s, y(0,0) -> φ = 0, y(x,t) = 0,5 · sin(60 · π · t - π/4 · x) (en cm, si t en s i x en m, v = λ · f = 240m/s.

3. Harmònics en Cordes Vibrants

   16. a) Dibuix (línia a dalt + línia a baix i en el mig com una X torta), harmònic fonamental: λ1 = 2L, v = λ · f ; f1 = v / λ1 = v / (2L) = 243Hz, segon harmònic λ2 = L; f2 = v / λ2 = v / L = 486Hz, tercer harmònic λ3 = (2L) / 3; f3 = v / λ3 = 3v / 2L = 729Hz. b) Una flauta: β1 = 10 · log · I / Io = 65dB, 3 flautes: β = 10 · log · (3 · I) / Io = 10 · (log · 3 + log(I / Io)) = 10 · log3 + β1 = 69,8 dB.

4. Equació General d'Ona

   17. a) Eq. general: y(x,t) = A · sin · (wt - kx + φ), nostre cas; y(x,t) = 0,03 · sin · (2π - π · x): A = 0,03m; w = 2 · π rad/s; k = π rad/s; φ = 0; k = w / v; v = w / k = 2m/s, w = 2π / T -> T = 2π / w = 1s; k = 2π / λ -> λ = 2π / k = 2m. b) Velocitat d'oscil·lació: Vosc = dy / dt = A · w · cos(wt - k · x + φ), nostre cas: Vosc = dy / dt = 0,19 · cos(2π - π · x), Vosc max = 0,19m/s. c) y(x=0,75; t=2) = 0,03 · sin(2π · 2 - π · 0,75) = -0,021m, Vosc(x=0,75; t=2) = 0,03 · 2 · π · cos(2π · 2 - π · 0,75) = -0,13 m/s.

5. Anàlisi de Moviment Ondulatori

   18. 1) C: 1,26m/s, 2) B: és màxima en el punt més baix del recorregut.

6. Càlcul de Velocitat i Longitud d'Ona

   19. v = e / t = 0,3 / 1 = 0,3m/s, T = 1s / 2 vegades = 0,5s, λ = v · T = 0,3 · 0,5 = 0,15m.

7. Equació d'Ona Sinusoïdal

   20. 1) C: y = 5 · 10^-3 · sin(880 · π · t - 44π/17 · x), 2) A: 0,773m.

8. Velocitat i Fase

   21. 1) B: 0,8π m/s, 2) C: π rad.

9. Amplitud i Fase Inicial

   22. A = 0,70 / 2 = 0,35m, w = 2π / T = 0,4 · π rad, y = A · cos · (wt + θo) = 0,35 · cos · (0,4π · t + θo) (en m), valor de θo, depèn de les condicions inicials. θo = 0.

10. Freqüència i Velocitat en Diferents Medis

    23. a) v = λ · f -> f = v / λ = (3 · 10^8) / (580 · 10^-9) = 5,2 · 10^14 Hz, n = c / v -> Vvidre = c / n = (3 · 10^8) / 1,55 = 1,9 · 10^8 m/s. b) f vidre = f aire = 5,2 · 10^14 Hz, λvidre = Vvidre / f vidre = (1,9 · 10^8) / (5,2 · 10^14) = 3,6 · 10^-7m.

11. Desfasament i Velocitat de Propagació

    24. a) y = 0,04 · sin · 2π · (t/2 - x/4) (unitats SI), v = dy / dt = 0,04 · π · cos · 2π · (t/2 - x/4), v(3s,5m) = 0m/s, b) ΔΦ = 2π / λ · Δx -> ΔΦ = 2π / 4 (3 - 1) = π rad. es troben en "oposició de fase". c) Velocitat de propagació: c = λ / T = 4m / 2s = 2m/s, l = c · Δt -> Δt = l / c = 10m / 2m/s = 5s.

12. Característiques de les Ones

    25. 1) C: la longitud d'ona es duplica, 2) C: l'ona vibra en una direcció que és perpendicular a la de propagació.

13. Acceleració Màxima i Posició

    26. a) k = 2π / λ = π -> λ = 2m, a sota, w = 2π / T = 4π -> T = 0,5s, les dues ant juntes: v = λ / T = 4m/s. b) |a max| = A · w² -> |a max| = 0,20 · ((4π)²) = 31,6 m/s². c) y = -0,10 = 0,20 · cos · π · (4t - 0,05), a = -0,20 · (4π)² · cos · π(4t - 0,05) = - (4π)² · y = +15,8m/s².

14. Energia Cinètica i Amplitud

    27. En el punt central de l'oscil·lació, v = Vmax = A · w, Ec = 1/2 · m · A² · w², A -> 2A, T -> 2T (w -> w/2): Ec no resulta modificada.