Formulari Essencial de Matemàtica Financera

Fórmules de capitalització

Capitalització simple

• Capital final: C_n = C_o · (1 + n · i)
• Capital inicial: C_o = C_n / (1 + n · i)
• Interessos totals: I_t = C_n - C_o
• Tipus d'interès: i = (C_n – C_o) / (C_o · n)
• Temps de durada: n = I_t / (C_o · i)

Capitalització composta

• Capital final: C_n = C_o · (1 + i)ⁿ
• Capital inicial: C_o = C_n / (1 + i)ⁿ
• Interessos totals: I_t = C_o · [(1 + i)ⁿ - 1]
• Tipus d'interès: i = (C_n / C_o)^1/n - 1
• Temps de durada: n = (log C_n - log C_o) / log(1 + i)

Liquidació de comptes bancaris

Interessos en comptes corrents

I = C_o · n · i / 365

Venciment mitjà del capital

n = (C₁·n₁ + C₂·n₂ + C₃·n₃) / C_n

Liquidació de comptes de crèdit

Saldo mitjà no disposat = Límit de crèdit – Saldo mitjà disposat

Mètode hamburgès

Càlcul de números comercials:

• Saldo creditor · dies
• Saldo deutor · dies

Operacions de descompte

Descompte comercial

• Descompte: D_c = C_n · n · i / m
• Efectiu (valor actual): E = C_n - D_c = C_n · (1 – n · i / m)
• Temps: n = D_c / (C_n · i)
• Tipus d'interès: i = D_c / (C_n · n)

Descompte racional

• Descompte: D_r = C_o · n · i
• Temps: n = D_r / (C_o · i)
• Tipus d'interès: i = D_r / (C_o · n)

Conceptes financers addicionals

TAE (Taxa Anual Equivalent)

i = (1 + i_m)^m - 1

Capitalització fraccionada

• Conveni exponencial: C_n = C_o · (1 + i)^n·m
• Conveni lineal: C_n = C_o · (1 + i)ⁿ · (1 + m · i)

Anàlisi de rendes financeres

Valor actual de rendes postpagables

Renda constant, immediata i postpagable

V_an|i = C · [1 - (1 + i)^-n] / i

Renda unitària (constant, immediata, postpagable)

a_n|i = [1 - (1 + i)^-n] / i

Renda perpètua (constant, immediata, postpagable)

V_a∞|i = C · (1/i)

Càlcul període a període

V_an|i = C·(1+i)^-1 + C·(1+i)^-2 + ... + C·(1+i)^-n

Valor final de rendes postpagables

El valor final d'una renda constant, immediata i postpagable és el valor actual d'aquesta renda capitalitzada al moment n.

V_fn|i = C · [(1 + i)ⁿ - 1] / i

Rendes prepagables

Valor actual d'una renda constant anual prepagable

V₀ = C · (1 + i) · [1 - (1 + i)^-n] / i

Valor final d'una renda constant anual prepagable

V_n = C · (1 + i) · [(1 + i)ⁿ - 1] / i

Amortització de préstecs

Préstec de reemborsament únic

Capital final: C_n = C_o · (1 + i)ⁿ

Tipus d'interès: i = (C_s / C_o)^1/n - 1

Mètode francès (anualitats constants)

Càlcul de l'anualitat (a)

a = C_o / a_n|i, on a_n|i = [1 - (1 + i)^-n] / i

Components de l'anualitat (quadre d'amortització)

• Quota d'interès (I_k): I_k = C_k-1 · i
• Quota d'amortització (A_k): A_k = a - I_k
• Capital amortitzat (M_k): M_k = M_k-1 + A_k
• Capital pendent (C_k): C_k = C_k-1 - A_k