Fórmules Clau d'Estadística Inferencial: Estimació i Contrast

Estimació per Intervals de Confiança

Mitjana

Per a la mitjana poblacional (μ):

• Amb variància poblacional (σ²) coneguda: x̄ ± z_1-α/2 · (σ / √N)
• Amb variància poblacional (σ²) desconeguda (estimada per S²): x̄ ± t_{n-1, 1-α/2} · (S / √N) (distribució t de Student)

Variància

Per a la variància poblacional (σ²):

• Interval: [ (n-1) · S² / χ²_{n-1, α/2} , (n-1) · S² / χ²_{n-1, 1-α/2} ]

Proporció

Per a la proporció poblacional (p):

• Interval: p̂ ± z_1-α/2 · √[ p̂ · (1 - p̂) / N ]

Contrast d'Hipòtesis Paramètriques

Contrast per a la Mitjana

Estadístic de Contrast (EC):

• Amb variància poblacional (σ²) coneguda: (x̄ - μ₀) / (σ / √N) (distribució Z)
• Amb variància poblacional (σ²) desconeguda (estimada per S²): (x̄ - μ₀) / (S / √N) (distribució t de Student)

Criteris de decisió:

• Dues cues: Rebutjar H₀ si |EC| > z_1-α/2 (o t_{n-1, 1-α/2})
• Una cua: Rebutjar H₀ si EC > z_1-α (o t_{n-1, 1-α}) o EC < -z_1-α (o -t_{n-1, 1-α})

Contrast per a la Variància

Estadístic de Contrast (EC): (n-1) · S² / σ₀² (distribució Chi-quadrat)

Criteris de decisió:

• Rebutjar H₀ si EC < χ²_{n-1, 1-α/2} o EC > χ²_{n-1, α/2}

Contrast per a la Proporció

Estadístic de Contrast (EC): (p̂ - p₀) / √[ p₀ · (1 - p₀) / N ] (distribució Z)

Contrast amb Comparació de Mostres

Diferència de Mitjanes

Per a la diferència de mitjanes (μ₁ - μ₂):

• Amb variàncies poblacionals (σ₁², σ₂²) conegudes:
  EC = (x̄₁ - x̄₂ - (μ₁ - μ₂)₀) / √[ (σ₁² / N₁) + (σ₂² / N₂) ]
• Amb variàncies poblacionals desconegudes però iguals (σ₁² = σ₂² = σ²):
  Cal estimar la variància comuna (S²_p): S²_p = [ (n₁-1)S₁² + (n₂-1)S₂² ] / (n₁+n₂-2)
  EC = (x̄₁ - x̄₂ - (μ₁ - μ₂)₀) / √[ (S²_p / N₁) + (S²_p / N₂) ] (distribució t de Student)

Comparació de Variàncies (Test F)

Per comparar dues variàncies poblacionals (σ₁² i σ₂²):

• Hipòtesi Nul·la (H₀): σ₁² / σ₂² = 1
• Estadístic de Contrast (EC): S₁² / S₂² (distribució F de Snedecor)
• Nota: Per convenció, es sol posar la variància mostral més gran (S²_max) al numerador.
• Criteri de decisió: Es compara amb els valors crítics de la taula F amb (n₁-1, n₂-1) graus de llibertat.

Anàlisi de la Variància (ANOVA)

Efecte Simultani de Diferents Factors

Descomposició de la variabilitat total (VT):

• VT (graus de llibertat: n-1) = VDM (Variabilitat Dins dels Grups, gdl: N-k) + VEM (Variabilitat Entre Grups, gdl: k-1)
• Variància Mitjana Entre Grups (VME): VEM / (k-1)
• Variància Mitjana Dins dels Grups (VMD): VDM / (N-k)
• Estadístic F*: VME / VMD

Contrast sobre la Diferència de Proporcions

Estadístic de Contrast (EC):

• EC = (p̂₁ - p̂₂ - (p₁ - p₂)₀) / √[ p̂_c(1 - p̂_c)/n₁ + p̂_c(1 - p̂_c)/n₂ ]
• On p̂_c (proporció combinada) = (n₁·p̂₁ + n₂·p̂₂) / (n₁ + n₂)

Criteris de decisió (distribució Z):

• Dues cues: Rebutjar H₀ si |EC| > z_1-α/2
• Una cua: Rebutjar H₀ si EC > z_1-α o EC < -z_1-α

Interpretació del Valor p

• Si Valor p > α: No rebutgem la hipòtesi nul·la (H₀).
• Si Valor p < α: Rebutgem la hipòtesi nul·la (H₀).

Contrast de Bondat d'Ajust

Test Chi-quadrat (χ²)

Per avaluar si les freqüències observades s'ajusten a les esperades o si dues variables són independents.

• Estadístic de Contrast (EC): χ² = Σ [ (O_i - E_i)² / E_i ]
• Graus de llibertat (gdl): k-1 (per bondat d'ajust) o (files-1)·(columnes-1) (per independència).
• Criteri de decisió:
  • Si EC > valor crític de la taula χ²: Rebutgem H₀.
  • Si EC < valor crític de la taula χ²: No rebutgem H₀.
• Nota: Per a la independència, la hipòtesi nul·la (H₀) és que les variables són independents.

Variables Discretes

Per a variables discretes, les freqüències esperades es calculen sovint com el nombre total d'observacions dividit pel nombre de categories o valors possibles.

Test de Kolmogorov-Smirnov

Per avaluar si una mostra prové d'una distribució específica.

• Es calcula la freqüència acumulada observada (F_o) i la freqüència acumulada teòrica (F_t).
• Es troba la màxima diferència absoluta: D = max |F_o(x) - F_t(x)|.
• Aquest valor D es compara amb un valor crític de la taula de Kolmogorov-Smirnov per als graus de llibertat i nivell de significació donats.

Coeficient de Correlació

Interpretació del coeficient de correlació (r):

• Si -1 ≤ r < 0: Relació monòtona negativa (a mesura que una variable augmenta, l'altra disminueix).
• Si 0 < r ≤ 1: Relació monòtona positiva (ambdues variables augmenten o disminueixen juntes).
• Si r ≈ 0: No hi ha relació lineal aparent entre les variables.