Fórmules i Conceptes Clau de Geometria, Volum i Probabilitat

Conceptes Fonamentals de Geometria

Definicions de Poliedres

• Poliedre: És un cos geomètric la superfície del qual es compon d'una quantitat finita de polígons plans.
• Prisma: Sòlid limitat per dos polígons paral·lels i iguals (anomenats bases) i per tants paral·lelograms com costats tinguin les bases (anomenats cares laterals).
• Piràmide: És un poliedre format per una base (qualsevol tipus de polígon) i tres o més cares que són triangles que convergeixen en un vèrtex comú.

Poliedres Regulars (Sòlids Platònics)

Els cinc poliedres regulars són:

• Tetràedre: Amb quatre cares triangulars i quatre vèrtexs.
• Cub o Hexàedre: Amb sis cares quadrades i vuit vèrtexs.
• Octàedre: Amb vuit cares triangulars i sis vèrtexs.
• Dodecàedre: Amb dotze cares pentagonals i vint vèrtexs.
• Icosàedre: Amb vint cares triangulars i dotze vèrtexs.

Teorema de Pitàgores

El Teorema de Pitàgores estableix que, en un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa.

Fórmula principal:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

On c és la hipotenusa i a i b són els catets.

Fórmules derivades per trobar els costats:

• Hipotenusa (c): $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
• Catet (a): $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$
• Catet (b): $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

Fórmules d'Àrea i Volum de Cossos Geomètrics

Notació: V = Volum, A = Àrea total, Al = Àrea lateral, Ab = Àrea de la base, h = altura, r = radi, g = generatriu.

Fórmules de Poliedres

• Piràmide:
  • Volum (V): $$V = \frac{A_b \cdot h}{3}$$
  • Àrea Total (A): $$A = A_l + A_b$$
• Prisma (General):
  • Volum (V): $$V = A_b \cdot h$$
  • Àrea Total (A): $$A = A_l + 2 \cdot A_b$$
• Prisma Rectangular (Cub):
  • Volum (V): $$V = c \cdot c \cdot c$$ (Si és un cub, V = costat³)
  • Àrea Total (A): $$A = A_l + 2 \cdot A_b$$

Fórmules de Cossos Rodons

• Cilindre:
  • Volum (V): $$V = A_b \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot h$$
  • Àrea Total (A): $$A = A_l + 2 \cdot A_b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2$$
  • Longitud de la circumferència (L): $$L = 2 \cdot \pi \cdot r$$
• Esfera:
  • Volum (V): $$V = \frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{3}$$
  • Àrea (A): $$A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$$
• Con:
  • Volum (V): $$V = \frac{A_b \cdot h}{3} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}$$
  • Àrea Total (A): $$A = A_l + A_b$$
  • Àrea Lateral (Al): $$A_l = \pi \cdot r \cdot g$$
• Cercle (Figura Plana):
  • Àrea (A): $$A = \pi \cdot r^2$$

Unitats de Volum i Capacitat

Escales i Equivalències

Unitats de Volum (V): km³, hm³, dam³, m³, dm³, cm³, mm³.

Unitats de Capacitat (L): kL, hL, daL, L, dL, cL, mL.

Conversions Clau

• $$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$$ (o $1 \text{ kL}$)
• $$1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$$
• $$1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$$

Regles de Conversió

• Per convertir unitats de volum (cúbiques): Multiplicar o dividir per 1000.
• Per convertir unitats de capacitat (lineals): Multiplicar o dividir per 10.

Càlcul de Volum d'Aigua Destil·lada

Expressa aquestes mesures de volum d'aigua destil·lada en litres i quilos:

Nota: Per a l'aigua destil·lada, 1 litre equival a 1 quilogram (a 4°C).

Conceptes Bàsics de Probabilitat

• Espai Mostral: És el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori.

Exemple de Probabilitat (Llançament de 3 monedes)

L'espai mostral (E) per al llançament de tres monedes (on X=Cara, O=Creu) és:

E = {XXX, XXO, XOX, XOO, OXX, OXO, OOX, OOO}. Hi ha 8 resultats possibles.

• P (2 cares i 1 creu): 3/8 (Casos: XXO, XOX, OXX)
• P (No surti cara): 1/8 (Cas: OOO)
• P (Almenys una cara): 7/8 (Tots excepte OOO)

Resolució de Problemes d'Omplir i Buidar

Com resolem problemes amb unitats diferents?

Problema: Una aixeta aboca 140 L/min. Quant triga a omplir un dipòsit de 9 m³ 800 dm³?

Pas 1: Transformació d'Unitats

Transformem totes les quantitats a les mateixes unitats (en aquest cas, a dm³ o litres, ja que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$).

Volum del dipòsit:

$$9 \text{ m}^3 + 800 \text{ dm}^3$$

$$9 \text{ m}^3 = 9000 \text{ dm}^3$$

Volum total: $$9000 \text{ dm}^3 + 800 \text{ dm}^3 = 9800 \text{ dm}^3$$

Com que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$, el dipòsit té una capacitat de 9800 L.

Pas 2: Resolució mitjançant Regla de Tres

Sabem que l'aixeta aboca 140 L en 1 minut.

$$140 \text{ L} \longrightarrow 1 \text{ min}$$

$$9800 \text{ L} \longrightarrow x \text{ min}$$

$$x = \frac{9800 \cdot 1}{140}$$

$$x = 70 \text{ minuts}$$

El temps que triga a omplir el dipòsit és de 70 minuts (o 1 hora i 10 minuts).