Funcions, Límits i Derivades: Exercicis Resolts

Funcions: Estudi de la Continuïtat

1. Estudia la continuïtat de la funció següent en els punts x=0 i x=1:

Per estudiar la continuïtat, s'han de complir tres condicions:

1. Existeix f(x₀)
2. Existeix el límit quan x tendeix a x₀ per la dreta i per l'esquerra i coincideixen: x→x₀⁺ f(x) = x→x₀^- f(x)
3. El límit quan x tendeix a x₀ coincideix amb f(x₀): x→x₀ f(x) = f(x₀)

Per x=0: Discontinuïtat de salt

1. f(0) = (0-3)/(0-1) = 3
2. x→0⁺ (x-3)/(x-1) = 3
   x→0^- (x²-2x)/(3x²-x) = x→0^- x(x-2)/[x(3x-1)] = (0-2)/(0-1) = 2

Com que els límits laterals no coincideixen, no existeix el límit quan x tendeix a 0.

Per x=1: Discontinuïtat asimptòtica

1. f(1) = (2·1+1)/(1+2) = 1
2. x→1⁺ (2x+1)/(x+2) = 1
   x→1^- (x-3)/(x-1) = -2/0 = -∞

Com que els límits laterals no coincideixen, no existeix el límit quan x tendeix a 1.

Càlcul de Límits

2. Calcula els següents límits:

a) (-3)·(∞)⁵ = -∞

b) -3x²/(5x) = -3x/5 = -∞

c) -5x²/(3x²) = -5/3

d) 9-9/(3-3)² = 0/0 (Indeterminació)
3(x-3)/(x-3)² = 3/(x-3) = 3/0 = ∞
3/(x-3) = 3/0⁺ = +∞
3/(x-3) = 3/0^- = -∞

e) 0/0 (Indeterminació)
[Ruffini: (x-1)(3x-3)]/(x-1)³ = (x-1)²/(3x-3) = (x-1)²/[3(x-1)] = (x-1)/3 = 0/3 = 0

f) x→0 (x+1)/(6x²) - 2(2x+3)/(6x²) = x→0 (x+1-4x-6)/(6x²) = (-3x-5)/(6x²) = -5/0⁺ = -∞

3. A partir de la gràfica, troba el límit de la funció quan x tendeix a:

x→-∞ f(x) = -∞

x→-1⁺ f(x) = 0
x→-1^- f(x) = 0
x→-1 f(x) = 0

x→0⁺ f(x) = +∞
x→0^- f(x) = +∞
x→0 f(x) = +∞ (Discontinuïtat asimptòtica)

x→3⁺ f(x) ≈ 3.6
x→3^- f(x) ≈ 3.1
x→3 (Discontinuïtat de salt)

Derivades

1. Calcula la recta tangent a f(x) = 4x³ - 5x² + 2 en el punt x=2:

f'(x₀)(x-x₀) = y-f(x₀)
y = f'(x₀)x + n
f'(x) = 12x² - 10x
f'(2) = 12·2² - 10·2 = 28
f(2) = 4·2³ - 5·2² + 2 = 14
14 = 28·2 + n
28(x-2) = y-14
y = 28x - 42

2. Calcula el punt on la recta tangent a f(x) = 4x² - 5x + 2 té pendent 2:

f(x) = 4x² - 5x + 2
f'(x) = 8x - 5
f'(x₀) = 8x₀ - 5 = 2
8x₀ = 7
x₀ = 7/8
f(7/8) = 4·(7/8)² - 5·(7/8) + 2 = 11/16
P = (7/8, 11/16)

3. Calcula les derivades:

a) f'(x) = (5x³)'·ln(x) - (ln(x))'·5x³ / (ln(x))² = 15x²·ln(x) - (1/x)·5x³ / (ln(x))²

b) f'(x) = (3^x)'·log₂(x) + (log₂(x))'·3^x = 3^x·ln(3)·log₂(x) + (1/(ln(2)·x))·3^x

c) u(x)⁴
f'(x) = 4·(5x³+2x-1)³·(15x²+2) = (u(x)⁴)'·u'(x)

d) ln(u(x))
f'(x) = 1/(-4x³+5x-1)·(-12x²+5)

e) 5^u(x)
f'(x) = 5^u(x)·ln(5)·u'(x) = 5^{ln(-2x2-2x-2)}·ln(5)·(1/(-2x²-2x-2))·(-4x-2)

4. Estudia la continuïtat i derivabilitat de f(x) en funció de"", en x=1:

1) f(1) = a-2
a-2 = 1

2) x→1⁺ x² = 1
x→1^- ax-2 = a-2
a = 3

3) Sí, és contínua i derivable.
f(x) = { 3x-2 si x ≤ 1; x² si x > 1}
f'(x) = { 3 si x < 1; 2x si x > 1}
f'(1^-) = 3
f'(1⁺) = 2·1 = 2