Funcions Quadràtiques: Tipus de Paràboles i Propietats Essencials

Introducció a les Funcions Quadràtiques

El vèrtex d'una funció quadràtica (paràbola) es troba a l'abscissa x = -b/(2a). Totes les funcions de segon grau tenen una gràfica en forma de paràbola.

Tipus de Funcions Quadràtiques

1. Funció Quadràtica: f(x) = ax²

Per a la representació, es pot fer una taula de valors (x, f(x)).

• Característica 1: Sempre passa per l'origen (el vèrtex és (0,0)).
• Característica 2: Quan el valor absolut del coeficient 'a' és més gran, la paràbola és més tancada; quan és més petit, és més oberta.
• Característica 3: L'eix Y és l'eix de simetria de la paràbola.
• Característica 4: Al punt (0,0), la funció passa de ser creixent a decreixent (o viceversa, depenent del signe de 'a').
• Característica 5:
  • Si a > 0: té un mínim, és còncava (s'obre cap amunt) i creixent a la dreta del vèrtex.
  • Si a < 0: té un màxim, és convexa (s'obre cap avall) i decreixent a la dreta del vèrtex.

2. Funció Quadràtica: f(x) = ax² + c

Per a la representació, es pot fer una taula de valors.

• Característica 1: S'obté traslladant la gràfica de ax2 verticalment 'c' unitats cap amunt o cap avall, segons si 'c' és positiu o negatiu.
• Característica 2: L'eix de simetria és l'eix Y.
• Característica 3: El vèrtex és (0,c).

3. Funció Quadràtica: f(x) = ax² + bx + c

Per a la representació, cal calcular el vèrtex, els punts de tall amb l'eix X (quan y=0) i amb l'eix Y (quan x=0).

• Característica 1: L'eix de simetria és una recta vertical.
• Característica 2: L'eix de simetria passa pel vèrtex de la paràbola.
• Característica 3: Si a > 0, la paràbola s'obre cap amunt; si a < 0, s'obre cap avall.

4. Funció Quadràtica: f(x) = ax² + bx

Per a la representació, cal calcular el vèrtex i resoldre l'equació aïllant 'x'.

• Característica 1: Les dues solucions de l'equació ax2 + bx = 0 són els punts de tall amb l'eix X. Aquests punts pertanyen a la paràbola i són simètrics respecte a l'eix de simetria, ja que tenen la mateixa ordenada (y=0).
• Característica 2: L'abscissa del vèrtex correspon al punt mitjà del segment que determinen les dues solucions de l'equació associada. L'ordenada del vèrtex és la seva imatge per la funció, és a dir, f(xvèrtex).
• Característica 3: L'eix de simetria és la recta paral·lela a l'eix d'ordenades que passa pel vèrtex.
• Característica 4: La gràfica d'aquesta funció té la mateixa forma i disposició que la de ax2.