Funtzio Matematikoak: Definizioa, Propietateak eta Adierazpena

Funtzioaren Definizioa

Matematikan, funtzio bat bi magnituderen arteko erlazioa da, non aldagai askearen (normalean x) balio bakoitzari menpeko aldagaiaren (normalean y) balio bakarra dagokion. Hau y = f(x) moduan adierazten da.

Funtzioen Oinarrizko Kontzeptuak

Definizio-eremua eta Irudia

Definizio-eremua (D.E.): Funtzioa existitzen den eta zentzua duen x-ren balioen multzoa da.

Irudia (I.) edo Helburu-multzoa: Funtzioak hartzen dituen y-ren balioen multzoa da, hau da, definizio-eremuko x balioei dagozkien f(x) balio guztien multzoa.

Adierazteko Moduak

Funtzio bat hainbat modutan adieraz daiteke:

• Enuntziatua: Testu bidez edo ahoz deskribatuta, aldagaien arteko erlazioa azalduz.
• Balio-taula: Informazioa taula batean jasota, x-ren hainbat baliori dagozkien y balioak erakutsiz.
• Grafikoki: Erlazioak ardatz kartesiarren bidez adierazita. x ardatza abzisa-ardatza da (horizontala) eta y ardatza ordenatu-ardatza (bertikala). Funtzioaren ikuspegi orokorra eta portaera ulertzen laguntzen du.
• Adierazpen analitikoa edo Formula: Funtzioa formula matematiko baten bidez adierazten da (adibidez, f(x) = 2x + 1). Balio zehatzak kalkulatzeko eta propietateak aztertzeko modurik zehatzena da.

Definizio-eremuko Murrizketak

Batzuetan, funtzio baten definizio-eremua mugatuta egon daiteke hainbat arrazoirengatik:

• Aztertzailearen nahia: Magnitudearen azterketa egiten duenak intereseko tarte jakin batera mugatzen duelako.
• Testuingurua: Problemaren testuinguru errealak berak mugak ezartzen dituelako (adibidez, distantziak ezin dira negatiboak izan).
• Eragiketa matematikoen ezintasuna: Zenbait eragiketa matematiko ezin dira egin balio guztietarako. Ohikoenak:
  • Zatiketetan: Izendatzailea ezin da zero izan (izendatzailea ≠ 0).
  • Erroketetan (errotzaile bikoitikoetan, adibidez, erro karratua): Errokizuna ezin da negatiboa izan (errokizuna ≥ 0).
  • Logaritmoetan: Argumentua positiboa izan behar da (argumentua > 0).

Funtzioen Jarraitutasuna eta Etenuneak

Funtzio bat jarraitua da puntu batean edo tarte batean bere grafikoa etenik gabe marraztu badaiteke. Bestela, etena dela esaten da. Etenuneak egotearen arrazoi nagusiak hauek dira:

• Funtzioak puntu batean edo tarte batean jauziak ditu (grafikoak "salto" egiten du).
• Funtzioa x-ren balio jakin batera hurbiltzen den heinean, bere balioa mugarik gabe handitzen edo txikitzen da (asintota bertikala).
• Funtzioa puntu batean edo tarte batean definituta ez egotea (definizio-eremutik kanpo dagoen puntua).

Funtzioen Hazkundea, Beherakada eta Muturrak

Funtzioen portaera aztertzean, garrantzitsua da haien hazkundea, beherakada eta muturrak (maximoak eta minimoak) identifikatzea.

• Funtzio gorakorra: Tarte batean, x-ren balioak handitzean f(x)-ren balioak ere handitzen badira (hau da, x1 < x2 izanik f(x1) < f(x2)), funtzioa tarte horretan gorakorra da.
• Funtzio beherakorra: Tarte batean, x-ren balioak handitzean f(x)-ren balioak txikitzen badira (hau da, x1 < x2 izanik f(x1) > f(x2)), funtzioa tarte horretan beherakorra da.
• Maximo erlatiboa: x = a abzisa-puntuan maximo erlatiboa dago funtzioa puntu horretan gorakorra izatetik beherakorra izatera pasatzen bada. Hau da, puntu horren inguruko tarte txiki batean funtzioak hartzen duen baliorik handiena da.
• Minimo erlatiboa: x = a abzisa-puntuan minimo erlatiboa dago funtzioa puntu horretan beherakorra izatetik gorakorra izatera pasatzen bada. Hau da, puntu horren inguruko tarte txiki batean funtzioak hartzen duen baliorik txikiena da.
• Maximo absolutua: x = a abzisa-puntuan maximo absolutua dago, baldin eta definizio-eremu osorako f(a) ≥ f(x) betetzen bada. Funtzioak hartzen duen baliorik handiena da.
• Minimo absolutua: x = a abzisa-puntuan minimo absolutua dago, baldin eta definizio-eremu osorako f(a) ≤ f(x) betetzen bada. Funtzioak hartzen duen baliorik txikiena da.

Batez Besteko Aldakuntza-Tasa (B.A.T.)

Funtzio batek [a,b] tartean duen batez besteko aldakuntza-tasa (B.A.T.) honela kalkulatzen da:

B.A.T. [a,b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)

B.A.T.-ak funtzioaren batez besteko aldaketa neurtzen du tarte horretan:

• B.A.T.[a,b] > 0 bada, funtzioa, batez beste, gorakorra da tarte horretan.
• B.A.T.[a,b] < 0 bada, funtzioa, batez beste, beherakorra da tarte horretan.
• B.A.T.[a,b] = 0 bada, funtzioaren hasierako eta amaierako balioak berdinak dira tarte horretan.

Oharra: B.A.T. positiboa izateak ez du esan nahi funtzioa tarte osoan etengabe gorakorra denik, gorabeherak izan ditzakeelako tartearen barruan.

Funtzioen Simetriak

Funtzio baten simetriak bere grafikoaren propietate geometrikoak dira, eta kalkuluak sinplifikatzen lagun dezakete:

• "y" ardatzarekiko simetria (funtzio bikoitia edo funtzio simetriko axiala): Funtzio bat bikoitia da f(x) = f(-x) betetzen bada bere definizio-eremuko x guztietarako. Grafikoa "y" ardatzarekiko simetrikoa da (ardatz hori ispilu bat balitz bezala).
• Koordenatuen jatorriarekiko simetria (funtzio bakoitia edo funtzio simetriko zentrala): Funtzio bat bakoitia da f(x) = -f(-x) (edo, baliokidea dena, -f(x) = f(-x)) betetzen bada bere definizio-eremuko x guztietarako. Grafikoa koordenatuen jatorriarekiko simetrikoa da (jatorriarekiko 180º-ko biraketa batek grafikoa bere horretan uzten du).

Simetria mota analitikoki kalkulatzeko, f(-x) kalkulatu eta f(x) eta -f(x)-rekin alderatu behar da.

Ardatzekiko Ebaki-Puntuak

Funtzio baten grafikoak ardatz kartesiarrak ebakitzen dituen puntuak dira ebaki-puntuak:

• X ardatzarekiko ebaki-puntuak (erroak): Puntu hauetan y = 0 da. Kalkulatzeko, f(x) = 0 ekuazioa ebatzi behar da. Funtzio batek X ardatzarekin ebaki-puntu bat baino gehiago izan ditzake.
• Y ardatzarekiko ebaki-puntua: Puntu honetan x = 0 da. Kalkulatzeko, f(0) balioa kalkulatu behar da (funtzioa x=0 puntuan definituta badago). Funtzio batek Y ardatzarekin, gehienez, ebaki-puntu bakarra izan dezake (funtzioaren definizioagatik).

Funtzio Baten Azterketa Osoa: Urratsak

Funtzio bat sakonki aztertzeko eta bere grafikoa irudikatzeko, honako propietate hauek ikertu ohi dira ordena logiko batean:

1. Definizio-eremua (D.E.): Zein x baliotarako existitzen den funtzioa.
2. Simetriak: Funtzioa bikoitia, bakoitia edo simetriarik gabekoa den.
3. Periodikotasuna: Funtzioaren grafikoa tarte erregularretan errepikatzen den ala ez.
4. Ardatzekiko ebaki-puntuak: Non ebakitzen duen grafikoak x eta y ardatzak.
5. Asintotak: Bertikalak, horizontalak eta zeiharrak (existitzen badira).
6. Gorakortasuna, beherakortasuna, maximoak eta minimoak: Lehen deribatua erabiliz (f'(x)).
7. Ahurtasuna, ganbiltasuna eta inflexio-puntuak: Bigarren deribatua erabiliz (f''(x)).
8. Irudia (I.) edo Helburu-multzoa: Aurreko guztia kontuan hartuta, funtzioak har ditzakeen y balioen multzoa.
9. Grafikoaren irudikapena.

Oharra: Jatorrizko testuak ez zituen asintotak, deribatuak, ahurtasuna/ganbiltasuna edo periodikotasuna zehazten, baina azterketa osorako garrantzitsuak dira. Hemen zerrenda osatuago bat eskaintzen da.

Kasu Berezia: Funtzio Lineala (y = mx + n)

Funtzio linealen ezaugarri nagusiak (m malda da eta n jatorriko ordenatua):

1. Definizio-eremua (D.E.): Zenbaki erreal guztien multzoa (ℝ).
2. Irudia (I.):
   • ℝ, baldin eta m ≠ 0 (malda zero ez bada).
   • {n}, baldin eta m = 0 (funtzio konstantea: y = n).
3. Jarraitutasuna: Jarraitua da bere definizio-eremu osoan.
4. Hazkundea eta muturrak:
   • m > 0 bada, beti gorakorra da.
   • m < 0 bada, beti beherakorra da.
   • m = 0 bada, konstantea da (ez gorakorra ez beherakorra).
   • Ez du maximo edo minimorik (m ≠ 0 bada). Funtzio konstantean, puntu guztiak maximo eta minimo absolutuak dira aldi berean.
5. Periodikotasuna: Ez da periodikoa (m ≠ 0 bada). Funtzio konstantea (m=0) periodikoa da edozein periodorekin, baina normalean ez da horrela kontsideratzen testuinguru honetan.
6. Simetriak:
   • y = mx (n=0, jatorritik pasatzen den zuzena) funtzio bakoitia da.
   • y = n (m=0, funtzio konstantea, ardatz horizontal bat) funtzio bikoitia da.
   • Orokorrean, y = mx + n (n ≠ 0 eta m ≠ 0 bada) ez da ez bikoitia ez bakoitia jatorriarekiko edo y ardatzarekiko. Hala ere, simetria zentrala du (-n/(2m), n/2) puntuan ez, baizik eta bere grafikoaren edozein punturekiko. Zehatzago, simetria zentrala du (-n/m, 0) puntutik pasatzen den eta malda m duen zuzenarekiko, baina hau konplexuagoa da. Sinpleago: ez da bikoitia ezta bakoitia ere, kasu orokorrean.
7. Ardatzekiko ebaki-puntuak:
   • Y ardatzarekin: Beti (0, n) puntuan.
   • X ardatzarekin: (-n/m, 0) puntuan (baldin eta m ≠ 0). m = 0 eta n ≠ 0 bada (zuzen horizontala y ardatza ez dena), ez du X ardatza ebakitzen. m = 0 eta n = 0 bada (y=0, X ardatza bera), X ardatzeko puntu guztiak ebaki-puntuak dira.

Zatikako Funtzioak

Funtzio batzuk ez daude beren definizio-eremu osoan formula bakar batez definituta. Horiei zatikako funtzioak deitzen zaie. Funtzio hauek definizio-eremuaren zati (edo tarte) bakoitzean modu desberdinean definituta daude, formula ezberdinak erabiliz zati bakoitzerako.