Geometria a l'Espai: Fórmules Essencials de Vectors, Rectes i Plans

Geometria a l'Espai

Vector a partir de dos punts

Donats dos punts A i B en l'espai:

• A = (x, y, z)
• B = (i, j, k)

El vector AB es calcula com:

AB = (i - x, j - y, k - z)

Punt mitjà d'un segment

Donats dos punts A i B:

• A = (a₁, a₂, a₃)
• B = (b₁, b₂, b₃)

El punt mitjà M del segment AB és:

M = ((a₁ + b₁)/2, (a₂ + b₂)/2, (a₃ + b₃)/2)

Per trobar el punt A', simètric de A respecte a B (on B és el punt mitjà):

A' = (2b₁ - a₁, 2b₂ - a₂, 2b₃ - a₃)

Punts alineats

Donats tres punts A, B i C:

• A = (a₁, a₂, a₃)
• B = (b₁, b₂, b₃)
• C = (c₁, c₂, c₃)

Els punts A, B i C són alineats si els vectors AB i AC són proporcionals. Això es verifica si:

(c₁ - a₁) / (b₁ - a₁) = (c₂ - a₂) / (b₂ - a₂) = (c₃ - a₃) / (b₃ - a₃)

Equacions de la recta

Donat un punt P = (a, b, c) i un vector director u = (u₁, u₂, u₃):

• Equació vectorial: (x, y, z) = (a, b, c) + t · (u₁, u₂, u₃)
• Equacions paramètriques:
  • x = a + t · u₁
  • y = b + t · u₂
  • z = c + t · u₃
• Equació contínua: (x - a) / u₁ = (y - b) / u₂ = (z - c) / u₃
• Equacions implícites (o generals): Es formen a partir de la contínua, igualant dues de les fraccions. Per exemple:
  • (x - a) / u₁ = (y - b) / u₂
  • (x - a) / u₁ = (z - c) / u₃

Equació del pla en l'espai

Un pla queda definit per un punt P = (a, b, c) i dos vectors directors u = (u₁, u₂, u₃) i v = (v₁, v₂, v₃) no paral·lels.

Un punt R = (x, y, z) pertany al pla si el vector PR és combinació lineal dels vectors u i v.

• Equació vectorial: (x, y, z) = (a, b, c) + t · (u₁, u₂, u₃) + s · (v₁, v₂, v₃)
• Equació general (o implícita) mitjançant determinant:

  | x - a   y - b   z - c |
  | u1     u2     u3     | = 0
  | v1     v2     v3     |

Un pla també pot estar format per:

• Un punt i dos vectors directors.
• Tres punts no alineats.

Posicions relatives de plans

Donats dos plans π₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 i π₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0:

• Coincidents: A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = D₁/D₂. (Rang(A) = Rang(A*) = 1)
• Paral·lels: A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ ≠ D₁/D₂. (Rang(A) = 1, Rang(A*) = 2)
• Secants: Els coeficients no són proporcionals. (Rang(A) = Rang(A*) = 2)

Posicions relatives de pla i recta

Donat un pla π i una recta r:

• Recta continguda en el pla: El vector director de la recta és perpendicular al vector normal del pla, i un punt de la recta pertany al pla.
• Paral·lels: El vector director de la recta és perpendicular al vector normal del pla, però cap punt de la recta pertany al pla.
• Secants: La recta i el pla es tallen en un únic punt.

Posicions relatives de dues rectes

Donades dues rectes r i s amb vectors directors u_r, u_s i punts P_r, P_s respectivament:

• Coincidents: u_r ∥ u_s i P_r ∈ s.
• Paral·leles: u_r ∥ u_s i P_r ∉ s.
• Secants: Els vectors u_r, u_s i P_rP_s són coplanaris (Det(u_r, u_s, P_rP_s) = 0) i u_r no és paral·lel a u_s.
• Rectes que es creuen: Els vectors u_r, u_s i P_rP_s no són coplanaris (Det(u_r, u_s, P_rP_s) ≠ 0).

Posicions relatives de tres plans

Donats tres plans π₁, π₂, π₃, i les seves matrius de coeficients A i ampliada A*:

• Coincidents: Rang(A) = Rang(A*) = 1.
• Dos plans coincidents i un tercer paral·lel: Rang(A) = 1, Rang(A*) = 2.
• Dos plans coincidents i un tercer secant: Rang(A) = Rang(A*) = 2.
• Es tallen en un punt: Rang(A) = Rang(A*) = 3.
• Es tallen en una recta (feix de plans): Rang(A) = Rang(A*) = 2.
• Es tallen dos a dos (sense punt comú): Rang(A) = 2, Rang(A*) = 3.
• Tres plans paral·lels: Rang(A) = 1, Rang(A*) = 2.
• Dos plans paral·lels i un tercer secant: Rang(A) = 2, Rang(A*) = 3.

Angles en l'espai

• Entre dues rectes r i s: Donats els seus vectors directors u_r i u_s:

  cos α = (|u_r · u_s|) / (||u_r|| · ||u_s||)

• Entre dos plans π₁ i π₂: Donats els seus vectors normals N₁ i N₂:

  cos α = (|N₁ · N₂|) / (||N₁|| · ||N₂||)

• Entre una recta r i un pla π: Donat el vector director de la recta u_r i el vector normal del pla N:

  sin α = (|u_r · N|) / (||u_r|| · ||N||)

Projeccions ortogonals

• Punt P sobre una recta r:

  Es troba el pla π que passa per P i és perpendicular a r. La projecció Q és la intersecció de π i r (Q = π ∩ r).

• Punt P sobre un pla π:

  Es troba la recta r que passa per P i és perpendicular a π. La projecció Q és la intersecció de r i π (Q = r ∩ π).

• Recta r sobre un pla π:

  Es projecten dos punts de la recta r (P_r i Q_r) sobre el pla π per obtenir P' i Q'. La recta projectada és la que passa per P' i Q'.

Distàncies

• Distància entre dos punts P = (x₁, y₁, z₁) i Q = (x₂, y₂, z₂):

  d(P,Q) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]

• Distància d'un punt P = (x₀, y₀, z₀) a un pla π: Ax + By + Cz + D = 0:

  d(P,π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

• Distància d'un punt P a una recta r: Donat un punt P_r de la recta i el seu vector director u_r:

  d(P,r) = ||P_rP × u_r|| / ||u_r||

• Distància entre dues rectes r i s que es creuen: Donats punts P_r, P_s i vectors directors u_r, u_s:

  d(r,s) = |Det(P_rP_s, u_r, u_s)| / ||u_r × u_s||

Volums

• Volum d'un paral·lelepíped format pels vectors AB, AC, AD:

  V = |(AB · (AC × AD))|

• Volum d'un tetraedre format pels vectors AB, AC, AD:

  V = |(AB · (AC × AD))| / 6