Guia de Càlcul: Derivades, Integrals i Funcions

Relacions entre els gràfics de f(x) i f'(x)

1. Els extrems de f(x) corresponen a zeros de f'(x).
2. Els punts d'inflexió de f(x) corresponen a extrems de f'(x).
3. Els intervals de creixement (o decreixement) de f(x) corresponen a intervals on f'(x) té signe positiu (o negatiu).

Integració indefinida

F(x) és una primitiva de f(x) si F'(x) = f(x). La integral indefinida s'expressa com:
∫f(x)dx = F(x) + C
on C és la constant d'integració, calculable si es coneix un punt de pas de la primitiva.

Regles d'integració

1. ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
2. ∫k · f(x)dx = k · ∫f(x)dx, amb k ∈ ℝ
3. ∫axⁿdx = (a / (n+1)) · xⁿ⁺¹ + C

Integració definida: Regla de Barrow

Sigui F(x) una primitiva de f(x). Llavors, la integral definida entre a i b és:
∫_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

Càlcul d'àrees amb la integral definida

L'àrea S compresa entre dues funcions f(x) i g(x) en un interval [a, b] es calcula com:
S = ∫_a^b (f(x) - g(x))dx

Teorema de Bolzano

Sigui f(x) una funció contínua en l'interval [a, b], amb f(a) · f(b) < 0. Llavors, existeix almenys un punt c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0.

Translació de funcions

• Funció original: f(x) = x²
• Desplaçament vertical: Es modifica el terme independent. Exemple: f(x) = x² - 2
• Desplaçament horitzontal: Es modifica cada aparició de la variable. Exemple: f(x) = (x - 2)²

Guia de resolució de problemes tipificats

Optimització pura

1. Construir la funció que cal fer òptima a partir de les dades de l'enunciat.
2. Establir una relació entre variables si la funció a optimitzar en presenta més d'una.
3. Calcular els punts estacionaris de la funció que cal fer òptima.
4. Comprovar que l'extrem obtingut correspon al demanat (criteris: monotonia o f''(x)).

Representació de funcions definides a trams

1. Analitzar i representar cada tram en uns mateixos eixos de coordenades.
2. Completar l'anàlisi amb el valor de les coordenades d'inici i final de cada tram.
3. Triar el fragment de gràfica que correspongui al camp d'existència de cada tram.
4. Si es demana, revisar la continuïtat de cada tram i la pròpia de cada punt de canvi de tram.

Tipus d'anàlisi segons la funció

1. Rectes: quadre de valors (dos punts, preferentment els de talls amb els eixos).
2. Paràboles: talls, vèrtex i examen de la posició de les branques segons el signe d'a.
3. Per a la resta: excepte si l'enunciat demana una altra tasca, anàlisi complet llevat del signe, els punts d'inflexió i la curvatura.
4. Quan la representació és un mitjà per obtenir altres resultats (p. ex.: càlculs d'àrees, funcions a trams, etc.), es pot fer servir el seu coneixement previ.