Guía Completa de Derivadas: Conceptos e Aplicacións

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Derivadas Laterais e a Súa Definición

Hai funcións que non son derivables nun punto x = a porque, aínda que existen os límites laterais, non son iguais. (Esta situación adoita aparecer en funcións definidas a anacos). Neste caso, fálase de derivada pola dereita e pola esquerda.

• Unha función é derivable pola esquerda no punto x = a se o seguinte límite é un número real: f'(a⁻) = limₓ→a⁻ (f(x) - f(a))/(x - a).
• Unha función é derivable pola dereita no punto x = a se o seguinte límite é un número real: f'(a⁺) = limₓ→a⁺ (f(x) - f(a))/(x - a).

Para que unha función sexa derivable no punto x = a, teñen que existir as derivadas laterais e ser iguais.

Relación entre Continuidade e Derivabilidade

Se unha función é derivable nun punto x = a, entón tamén é continua nese punto. Polo tanto, se unha función non é continua nun punto, tampouco é derivable nese punto.

O recíproco non é certo, é dicir, existen funcións continuas nun punto que non son derivables nese punto, por exemplo f(x) = |x|. En xeral, nos puntos onde a función fai un “pico” (ou puntos angulosos), a función non é derivable aínda que sexa continua.

A Función Derivada e Derivadas de Orde Superior

Se unha función f é derivable nun subconxunto D' do seu dominio D, é posible definir unha nova función que asocie a cada número de D' a súa derivada nese punto. Esta función así definida chámase función derivada e denótase por f'.

Tamén se pode falar da función derivada de f', é dicir, da función (f')'(x), que se representa por f''(x) e se denomina derivada segunda de f. De forma análoga, defínense as derivadas terceiras, cuartas, etc., e de calquera orde.

Regra da Cadea para Derivadas Compostas

Suponse que f e g son dúas funcións derivables, entón:

(g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x)

Estudo da Derivabilidade en Funcións a Anacos

1. Determínanse os dominios de cada función.
2. Compróbase a continuidade nos puntos críticos (onde a definición da función cambia), e os seus límites coa función que corresponde.
3. Escríbese a función definida a anacos, pero completando cos datos coñecidos.
4. Compróbase a derivabilidade cos mesmos puntos que antes.
5. Escríbese a función derivada.

Derivación Logarítmica: Cando Usala

Utilízase para derivar funcións exponenciais nas que nin a base nin o expoñente son constantes.

Derivación Implícita: Cálculo de Derivadas

Hai ocasións en que, aínda que non é posible despexar y en termos de x, si que se pode calcular a súa derivada en función das coordenadas dos pares (x, y).