Guia de Geometria Analítica: Rectes, Plans i Matrius

Geometria: Àrees i Volums

Àrea: mòdul del producte vectorial (i, j, k). Volum: Paral·lelepípede: determinant dels vectors en valor absolut (tetraedre: 1/6). Cas piràmide hexagonal: 1/3 de l'àrea de la base (3√3/2 x costat al quadrat) x altura.

Posició Relativa de n Punts

n punts: alineats si el rang és 1; coplanaris si el rang és 2; no coplanaris si el rang és 3.

Posició Relativa entre Recta i Pla

A partir de les equacions generals (Rangs)

• Rang(A) = Rang(A*) = n (SCD): La recta talla el pla en un punt.
• Rang(A) = Rang(A*) < n (SCI): Infinites solucions, la recta està continguda en el pla.
• Rang(A) ≠ Rang(A*) (SI): La recta és paral·lela al pla.

A partir de l'equació contínua o paramètrica

S'extreu el punt (P) i el vector director (v) de la recta, i del pla s'extreu el vector normal (n).

Si v · n = 0, la recta és paral·lela o està continguda en el pla; si no, es tallen. Càlcul del punt de tall: cal parametritzar la recta i substituir a la fórmula del pla (Fórmula del pla: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0). Per trobar un pla perpendicular a una recta r que passa per un punt, utilitzem la parametrització.

Si el punt P pertany a π, la recta està continguda.

Posició Relativa entre Rectes

• Rang(A) = 2:
  • Cas 1: A* = 3, les rectes es creuen.
  • Cas 2: A* = 2, les rectes són secants.
• Rang(A) = 1:
  • Cas 1: A* = 2, les rectes són paral·leles.
  • Cas 2: A* = 1, les rectes són coincidents.

Posició Relativa entre dos Plans

S'extreuen els vectors normals i se'n divideixen els components per determinar si són coincidents, paral·lels o secants.

Posició Relativa entre tres Plans

Es forma una matriu i s'estudia el rang:

• Si R(A) = 3 = R(A*) = n (SCD): Una sola solució, els tres plans es tallen en un punt.
• Si R(A) = 2 ≠ R(A*) (SI): No hi ha solució, no tenen cap punt en comú. CAS 1: Es tallen dos a dos formant un prisma. CAS 2: Dos plans són paral·lels i el tercer els talla.
• Si R(A) = 2 = R(A*) < n (SCI): CAS 1: Dos plans coincidents i els talla l'altre. CAS 2: Es tallen en una recta.
• Si R(A) = 1 ≠ R(A*) = 2: Els tres plans són paral·lels.
• Si R(A) = 1 = R(A*) < n (SCI): Infinites solucions, els tres plans són coincidents.

Matrius i Determinants

Adjunt: Atenció al canvi de signes! Inversa: Adj(A) transposada dividit pel determinant de A.

Càlcul d'Equacions de Rectes i Plans

Per buscar equacions de rectes: Si coneixem el punt P i el vector normal: Ax + By + Cz + D = 0, incloem el punt P per trobar D. Si coneixem dos vectors i el punt, fem el determinant.

Càlcul del vector director: Mode producte vectorial (i, j, k) o agafem l'equació on faltin termes, donem el valor t a un dels termes i muntem un sistema (si hi són tots els termes, fem reducció).

Equació del pla que conté dues rectes paral·leles: Agafo un dels dos vectors directors, un altre vector format per un punt de cada recta i construeixo el vector en mode (x-p, y-p, z-p).

Equació del pla paral·lel a r que passa per P: Utilitza la mateixa normal (n).

Equació del pla tenint recta i punt: Extrec de la recta r el punt i el vector, construeixo un segon vector amb el punt extret i el punt donat, i aplico el producte vectorial (i, j, k) i substitueixo.

Pla que conté P més proper a l'origen: El vector normal n = QP (on Q és l'origen de coordenades).

Pla mediatriu del segment AB: El vector AB = n. Cal buscar el punt mitjà M que talla el segment i aplicar la fórmula Ax + By + Cz + D = 0.

Recta r que és la intersecció de dos plans: Producte vectorial (i, j, k) dels vectors normals dels dos plans. Busco un punt donant el valor z = 0.