Límites, Asíntotas e Continuidade de Funcións

Límites de Funcións: Conceptos e Propiedades

De maneira análoga defínense:

• lim f(x) = b
• lim f(x) = -∞ (cando x tende a -∞)
• lim f(x) = +∞
• lim f(x) = -∞ (cando x tende a +∞)

Propiedades dos Límites

As propiedades básicas dos límites son:

• Se se suman, o resultado é A+B.
• Se se restan, o resultado é A-B.
• Se se multiplican, o resultado é A·B.
• Se se dividen, o resultado é A/B (sempre que B ≠ 0).

Indeterminacións Comúns

As formas indeterminadas máis frecuentes son:

• k/0 (onde k ≠ 0)
• 0/0
• ∞/∞
• ∞ - ∞
• 0 · ∞
• 0⁰
• 1^∞
• ∞⁰

Cálculo de Límites nun Punto

Para calcular o límite dunha función nun punto, estúdase cara a que valor tenden os valores da función nas proximidades do punto. Se ao substituír o valor de x polo valor ao que tende se obteñen resultados con sentido, estaremos nun caso dun límite determinado e o proceso concluirá. Se ao realizar a substitución se obtén algún tipo de indeterminación, estaremos ante un caso indeterminado e deberá manipularse a expresión para conseguir outra expresión equivalente na que as operacións que aparezan teñan sentido.

Estratexias para Resolver Límites

• Para calcular límites cando x tende a -∞, pódese usar a propiedade: lim f(x) = lim f(-x) (cando x→-∞).

• Límites de Polinomios no Infinito

  Basta con considerar o termo de maior grao (o resultado será ±∞ dependendo do signo do coeficiente principal).

• Límites de Funcións Racionais no Infinito

  Neste caso, resultará a indeterminación ∞/∞.

• Indeterminación k/0 (k≠0)

  Neste caso, os límites laterais darán como resultado ±∞. É importante estudar se coinciden.

• Indeterminación ∞ - ∞

  Cando resulta a expresión ∞ - ∞, hai ocasións en que se pode operar directamente a expresión e outras en que convén multiplicar e dividir pola expresión conxugada.

• Indeterminación 1^∞

  Esta indeterminación resólvese a miúdo usando a definición do número e: lim (1 + 1/f(x))^f(x) (cando x tende a ±∞).

Os casos de indeterminación resólvense, en xeral, mediante técnicas que se estudan en unidades posteriores (por exemplo, a Regra de L'Hôpital).

As Asíntotas dunha Función

As asíntotas dunha función son rectas ás que se aproxima a función cando x tende a un valor real a ou a ±∞, é dicir, son rectas tales que a distancia entre a gráfica da función e a recta tende a cero cando a distancia á orixe de coordenadas tende a infinito. Poden ser:

• Horizontais
• Verticais
• Oblicuas

Asíntotas Horizontais (AH)

A recta y = k é unha asíntota horizontal da función f se existe algún dos límites seguintes: lim f(x) = k (cando x → ±∞). A ecuación da asíntota é y = k.

Asíntotas Verticais (AV)

A recta x = a é unha asíntota vertical da función f se existe polo menos algún dos seguintes límites: lim f(x) = ±∞ (cando x tende a a, a+ ou a-).

Asíntotas Oblicuas (AO)

A recta y = mx + n é unha asíntota oblicua da función f se existe algún dos seguintes límites: lim (f(x) - (mx + n)) = 0 (cando x → ±∞). Para calcular m e n:

• m = lim f(x)/x (cando x → ±∞)
• n = lim (f(x) - mx) (cando x → ±∞)

Continuidade dunha Función

Unha función f é continua nun punto x = a do seu dominio se lim f(x) = f(a) (cando x → a). A definición implica que se deben cumprir tres condicións:

1. Existe o límite da función no punto x = a.
2. A función está definida en x = a, é dicir, existe f(a).
3. Ambos os valores son iguais: lim f(x) = f(a).

Unha función é continua no intervalo aberto (a, b) cando o é en cada un dos seus puntos. E é continua no intervalo pechado [a, b] cando o é en (a, b) e ademais é continua pola dereita en x = a e continua pola esquerda en x = b. Unha función que non é continua nun punto diremos que é descontinua nese punto.