Matematika Funtzio, Limite, eta Deribatuen Laburpena

Funtzioak

Funtzio Lineala: y = mx + n (x ardatzean ebakipuntua: x = -n/m)

Funtzio Koadratikoak (Parabola) (U): y = ax² + bx + c

• a: irekidura
• b-rekin batera ezkerrean edo eskuinean dagoen maximoa edo minimoa aurkitu
• c: y ardatzeko ebakipuntua
• Erpina aurkitzeko: x = -b/2a

Hiperbola (¬L): (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)

• Asintotak: Bertikala: azpikoa = 0, Horizontala: a/c
• Ardatzak: Bertikala: x = 0

3. mailakoak: y = x³

Esponentzialak (J): y = a^x

• Oso azkar hazten dira
• a positiboa behar du
• a ≠ 1
• a⁰ = 1
• D = R (x edozein izan daiteke)
• a < 0

Funtzioen Konposaketa

g · f = f eta g-ren konposizioa adierazteko. Bigarrenaren x-an lehenengoa jarri. Alderantzizkoa bilatzeko:

1. x isolatu
2. y-ri x deitu

Trigonometria

2π radian = 360º

Limiteak

Funtzioa nola aldatzen den aztertzen du. lim x → 1: x jartzen duena ordezkatu. x → 3^- (ezkerretik), 3⁺ (eskuinetik). Indeterminazioa ematen badu, faktorizatu eta berriz ordezkatu.

Infinitua

∞ · 0 = Indeterminazioa

a / ∞ = 0 (ia 0)

∞ + ∞ = Indeterminazioa (motaren arabera)

∞ / ∞ = Indeterminazioa

0 / 0 = Indeterminazioa

Asintotak

Horizontala: Limitea ∞ edo -∞

Bertikala: Izendatzailea = 0

Zeiharra (goikoa maila bat altuagoa bada): y = mx + n

• m = lim x → ±∞ (funtzio osoa / x)
• n = lim x → ±∞ (funtzioa - mx)

Jarraitasuna

1. Bakoitza bere aldetik behatu
2. Elkarketa unean jarraitua den ala ez ikusi:

f(lim x→o^-) = f(lim x→o⁺) = f(o)

• b = b = x (jauzi infinitua)
• b = a = b (jauzi finituko etena)
• b = b ≠ x (saihesgarria)

Deribatuak

Funtzioa nola aldatzen den esaten du = ukitzailearen malda. x ordezkatu malda jakiteko. Ukitzailearen ekuazioa jakiteko: y = y₀ + y'₀(x - x₀) (y'₀ ukitzailearen malda, (x₀, y₀) esandako puntua)

(B.A.T. = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))

(a + h): x, n-rekin ordezkatu

(f(a + h) - f(a)) / h

Deribatzeko Erregelak

Biderketa zenbaki bat: y = k · f(x) → y' = k · f'(x)

Batuketa edo kenketa: y = f(x) + g(x) → bakoitza bere aldetik deribatu eta batu

Biderketa: y = f(x) · g(x) → y' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

Zatiketa: f(x) / g(x) → y' = (goikoaren deribatua · behekoaren deribatua gabe - goikoa deribatu gabe · behekoaren deribatua) / behekoa²

Deribatu Konkretuak

• y = k → y' = 0
• y = x + 0 → y' = 1
• y = xⁿ → y' = n · x^n-1 · u'
• y = e^x → y' = e^x · u'
• y = a^x (a > 1) → y' = a^x · ln(a) · u'
• y = 1/x → y' = -1/x² · (u'/u²)
• y = ln(x) → y' = 1/x · (u'/u)
• y = |x| → y' = 1/(2|x|) · (u'/(n · (|u|)^n-1))
• y = log_a(x) → y' = 1/(x · log_a(e)) · (u'/(u · log_a(e)))
• y = sin(x) → y' = cos(x) · u'
• y = cos(x) → y' = -sin(x) · u'
• y = tan(x) → y' = 1 + tan²(x) = 1/cos²(x) · u'