Mètodes Numèrics: Integració i Zeros de Funcions

Aproximació Rectangular Superior

I = h * max(f(x_i), f(x_i+1)), on h = (b-a)/n.

Aproximació Rectangular Inferior

I = h * min(f(x_i), f(x_i+1))

Regla Composta del Trapezi

Amb n intervals, necessitem n+1 punts.

I = (h/2) * (f(x_i) + f(x_i+1))

Per a punts equiespaiats:

I = h * [(f(x₀)/2) + Σ_i=1^n-1 f(x_i) + (f(x_n)/2)]

Mètode de Simpson

Per a punts equiespaiats:

I = (h/3) * (f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂))

Per a punts no equiespaiats, amb m intervals, necessitem 2m+1 punts (m = n/2):

I = (h_i/3) * (f(x_2i-2) + 4f(x_2i-1) + f(x_2i))

Si són equiespaiats:

I = (h/3) * [f(x₀) + 2Σ_i=1^m-1 f(x_2i) + 4Σ_i=1^m f(x_2i-1) + f(x_2m)]

Estimació de l'Error

E_h/2 = |I_h/2 - I_h| / (2^p - 1)

On:

• p = 2 per a la regla del trapezi
• p = 4 per al mètode de Simpson

E_h/2 = |I_h/2 - I_exacte|

Zeros de Funcions: Mètode de Bisecció

1. Trobar les imatges dels valors d'aproximació inicial (a i x₀) i confirmar que tenen signes oposats.
2. Calcular el punt mig: x₁ = (a + x₀) / 2.
3. Avaluar f(x₁). Segons el signe de f(x₁), definir el nou interval.
4. Repetir el procés fins a la convergència.

Aproximació de l'error relatiu:

r_k = (x_k - x_k+1) / x_k+1

Mètode de Newton

1. Amb una aproximació inicial (x₀), calcular f(x₀) i f'(x₀).
2. Calcular la nova aproximació: x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀).
3. Repetir el procés fins a la convergència.

Mètode de la Secant

1. Amb aproximacions inicials (x₀ i x₁), calcular f(x₀) i f(x₁).
2. Calcular el pendent: s₁ = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀).
3. Calcular la nova aproximació: x₂ = x₁ - f(x₁) / s₁.
4. Repetir el procés, calculant el pendent amb els punts anteriors.

Teoria: Errors

• Error Absolut: E_x = |Valor exacte - Valor aproximat|
• Error Relatiu: r_x = |Valor exacte - Valor aproximat| / |Valor exacte|

Tipus d'Errors

• Inherents: Propis de les dades inicials.
• D'arrodoniment: Impossibilitat de guardar infinits decimals.
• De truncament: Resultat d'utilitzar un nombre finit d'operacions.

En realitzar operacions, l'error de les dades es propaga. Existeixen expressions per calcular com es propaga l'error en operacions fonamentals.

Evitar: Restar nombres semblants i dividir per nombres petits.

L'error de les dades només es pot acotar. No es poden emmagatzemar nombres més grans que n_max (overflow) ni menors, en valor absolut, que n_min (es considera 0). En guardar un nombre, es produeix un error d'arrodoniment que es propaga en els càlculs. En avaluar una funció, es produeix un error de truncament.