Metodologia i dificultats en l'ensenyament de nombres enters i racionals a Primària

1. La multiplicació de nombres enters a Primària: l'exemple (+1) · (-2)

Per explicar la multiplicació amb nombres enters a l’aula de Primària, cal utilitzar una situació problemàtica per tal de contextualitzar el concepte matemàtic. Un exemple útil és el de l’ascensor, on els alumnes poden obtenir el resultat empíricament:

«Un ascensor es troba a la planta baixa (0). Si puja 1 pis per minut (+1), en quin pis es trobava fa 2 minuts (–2)?»

Ens situem al 0, que seria la posició actual de l’ascensor, i multipliquem els pisos per minut pel nombre de minuts. En aquest cas, els minuts s’han d’escriure amb signe negatiu (–2) per a indicar que ens referim a un temps anterior al moment present.

L’operació serà: (+1) · (–2) = –2.

El resultat (–2) indica que l’ascensor es trobava al 2n soterrani. Com a conclusió de l’exemple, queda clar que caldrà multiplicar els valors absoluts dels nombres naturals i afegir el signe segons la regla: (+) · (–) = (–).

2. Operacions amb nombres enters representats per parells de punts

Siguin (3, 5) i (8, 2) dos parells de punts que representen dos nombres enters. Recordem que un parell (a, b) representa l'enter (a – b). Per tant:

• (3, 5) representa l'enter: 3 – 5 = –2
• (8, 2) representa l'enter: 8 – 2 = +6

a. Suma dels parells i expressió en nombres enters

La suma dels parells es realitza component a component:

(3, 5) + (8, 2) = (3 + 8, 5 + 2) = (11, 7)

Expressat en nombres enters: (–2) + (+6) = (+4). (Comprovació: 11 – 7 = 4).

b. Multiplicació dels parells i expressió en nombres enters

La multiplicació dels parells es defineix com:

(3, 5) · (8, 2) = (3·8 + 5·2, 3·2 + 5·8) = (24 + 10, 6 + 40) = (34, 46)

Expressat en nombres enters: (–2) · (+6) = (–12). (Comprovació: 34 – 46 = –12).

3. Dificultats freqüents amb els nombres enters a Primària

Hi ha preconceptes derivats de situacions de la vida real que generen dificultats a l’hora d’integrar els nombres enters en la quotidianitat. Les dificultats més freqüents són:

• Llenguatge col·loquial: Hi ha el costum de dir: «Tinc 50 €» o «Dec 50 €», però mai, en el llenguatge col·loquial, direm: «Tinc +50 €» o «tinc –50 €». La manca d'ús del signe en el dia a dia dificulta la seva comprensió matemàtica.

• Concepte d'addició i subtracció: Considerar l’addició com una operació que sempre augmenta una quantitat és un obstacle. Per exemple, trobar el nombre que sumat a +9 doni com a resultat +4. De la mateixa manera, trobar un nombre que restat a +4 resulti +9 és un altre obstacle, ja que la subtracció no sempre implica una disminució.

• Ordre en el conjunt dels nombres enters: Cal ser conscients de la diferència entre l’ordre establert per als nombres naturals i l’ordre dels enters negatius. Per exemple, –5 és menor que –2, trencant la idea que un nombre amb un valor absolut més gran és sempre més gran.

Alguns autors consideren que el coneixement del nombre enter exigeix la ruptura amb la idea del nombre com a expressió d’una quantitat existent, de l’addició i la multiplicació com a augment d’aquesta quantitat, de la subtracció com a disminució, i de l’ordre numèric com l’establert per als nombres naturals.

4. Aplicació de la jerarquia d'operacions

Per tal de resoldre l’exercici (operació no especificada), cal marcar les operacions que es realitzaran a partir del següent igual, atenent a la jerarquia d’operacions (parèntesis, potències i arrels, multiplicacions i divisions, sumes i restes).

5. L'assignació del signe als nombres racionals (Q)

Per tal d’assignar signe a un nombre racional, donada una fracció a/b, aquest serà:

• Positiu (+Q) si el producte del numerador pel denominador és un enter positiu (és a dir, a i b tenen el mateix signe).
• Negatiu (–Q) si el producte del numerador pel denominador és un enter negatiu (és a dir, a i b tenen signes diferents).

D’aquesta manera, tenim dividits els nombres racionals no nuls en Q+ (positius) i Q– (negatius). Per tant, el conjunt Q es descompon en tres subconjunts:

1. Nombres racionals positius (Q+)
2. El zero (0)
3. Nombres racionals negatius (Q–)

D’acord amb la definició de +Q i –Q, és evident que, per exemple, les fraccions que representen el mateix nombre racional tenen el mateix signe. (Nota: Falten els exemples concrets de fraccions en el document original.)

6. Introducció de l'expressió decimal: les dècimes

La primera connexió entre la manera d’expressar una situació amb una fracció i amb una expressió decimal s’ha d’iniciar a 4t de Primària i s’ha de continuar durant el 3r Cicle.

A partir de la representació material (pastís, corda, cinta, reglets...) o gràfica d’una dècima part apareguda en una situació problemàtica real, i la transcripció simbòlica d’aquesta, 1/10, cal plantejar-se si aquestes noves expressions podrien escriure’s utilitzant el sistema de numeració que ja coneixen: el Sistema de Numeració Decimal (SND).

Es tracta de pensar com es poden representar parts menors que la unitat, sabent que les unitats d’ordre superior s’escriuen cap a l’esquerra de la unitat. Arribarem a situar les xifres que indiquen parts menors que la unitat a la dreta, seguint l’esquema de funcionament del SND:

• La primera xifra a la dreta correspondrà a les dècimes parts (com en l'exemple 0,1).
• La segona a les centèsimes parts, etc.

Per fer aquesta separació, es descobreix la necessitat d’utilitzar una coma que separarà les xifres que representen quantitats senceres de les que representen parts inferiors a la unitat.