Modelització de Sistemes Dinàmics: Guia Completa i Transformada de Laplace

Modelització de Sistemes Dinàmics

La modelització de sistemes consisteix en crear un model matemàtic d’un sistema dinàmic. Aquest model és un conjunt d’equacions que representen la dinàmica del sistema. Cal tenir en compte que, per a un sistema donat, no existeix un model matemàtic únic i no sempre és possible trobar un model adequat. És important buscar models senzills, tenint en compte que la majoria de models són vàlids per a determinats marges de treball.

Avantatges de la Modelització

• Facilita el disseny de controladors.
• Permet fer simulacions sense utilitzar el procés real.

La representació més típica és la funció de transferència, obtinguda mitjançant la transformada de Laplace. La variable complexa ‘s’ té un component real σ (eix X) i un d’imaginari ‘w’ (eix Y). G(s) és una funció de la variable complexa ‘s’, i per cada valor de ‘s’ existeixen un o més valors de G(s). [G(s)=Gx+jGy][Fase=atan(Gy/Gx)][Magnitud=||G(s)||].

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace ens permet solucionar equacions diferencials ordinàries lineals.

Avantatges de la Transformada de Laplace

• Converteix l’equació diferencial en una equació algebraica en ‘s’.
• Permet manipular l’equació algebraica a partir de regles matemàtiques per obtenir la solució en el domini ‘s’.
• La solució en el domini ‘t’ s’obté aplicant la transformada inversa.

EDO → Laplace → Eq. Algebraica → Y(s) → L⁻¹ → y(t).

Definició de la Transformada

És una eina matemàtica per resoldre equacions diferencials i aportar informació dels sistemes des d’un punt de vista diferent al temporal. Donada una funció real f(t), per un σ finit, la transformada de Laplace.

Antitransformada

Per a l’antitransformada, mirarem si algun element s’assembla als elements de la taula F(s) i ho calcularem amb la taula. Podem trobar la resposta y(t), on s’estabilitza el sistema lim(t=∞)f(t), i trobar la funció de transferència.

Aplicacions de la Transformada

• Transformar l’equació diferencial al domini ‘s’ mitjançant la transformada de Laplace.
• Manipular les equacions algebraiques transformades i resoldre-ho per a les variables de sortida.
• Realitzar l’expansió en fraccions parcials de l’equació algebraica transformada.
• Obtenir la transformada inversa de la taula de transformades de Laplace.

Teoremes Importants

Teorema del Valor Final

Relaciona f(t) amb el comportament de s·F(s) al voltant de s=0, sempre que interessi la resposta del sistema quan el temps és molt gran. El teorema només és vàlid si s·F(s) no té cap pol en el semiplà dret del pla ‘s’.

Teorema del Valor Inicial

Proporciona el valor de f(t) en un temps lleugerament major que zero f(0*)=lim.../ Aquests teoremes proporcionen una verificació en la solució de problemes de control, ja que permeten predir el comportament del sistema en el domini del temps sense transformar les funcions en ‘s’ de retorn a les funcions de temps.

Funcions de Transferència

És la relació en el domini transformat entre la sortida i l’entrada, definint les condicions inicials posades a 0. U(s)/v(t) → G(s) → Y(s)/y(t), G(s)=Y(s)/U(s)

Propietats de la Funció de Transferència

• Només està definida per sistemes lineals.
• És intrínseca a l’entrada.
• Condicions inicials 0.
• Té en compte les unitats del sistema però no l’estructura.
• L’ordre del sistema = grau del polinomi.
• Les solucions del numerador són zeros, les solucions del denominador són pols.

Equació Característica: denominador trans. = 0

Linealització

La majoria de models tenen una representació per equacions diferencials no lineals. Si la regió d’operació està limitada, les equacions es poden linealitzar. Degut a la no linealitat de la majoria de processos, caldrà fer aproximacions per arribar a tenir un procés lineal.

Esquemes amb Blocs

Donat un sistema de control, podem fer la representació de cada un dels seus components i la interrelació entre ells utilitzant diagrames de blocs. Per a un mateix sistema, no existeix un diagrama de blocs únic.

Components dels Diagrames de Blocs

Detector: realitza operacions de suma, resta, multiplicació i combinacions d’aquestes.

Diagrama de Blocs de Llaç Tancat