Ones: Concepte, Classificació, Equació i Fenòmens

Concepte d'Ona i Classificacions

Fenomen en què es propaga una pertorbació de la matèria, però sense transport net de matèria. Es propaga energia.

Producció i Propagació

• Pertorbació inicial (al focus) en un medi elàstic.
• Varia alguna propietat física del medi.
• Es propaga el canvi (energia, quantitat de moviment).

Terminologia

• Tren d'ones: Conjunt de pertorbacions originades per un conjunt de pulsacions.
• Front d'ones: Lloc geomètric de tots els punts del medi afectats per la mateixa pertorbació al mateix temps.
• Raig: Direcció perpendicular al front d'ones.

Classificació de les Ones

• Mecàniques: Necessiten un medi material (so, ones en cordes, sismes, etc.).
• Electromagnètiques: No necessiten un medi material (llum, ones de ràdio, etc.).
• Longitudinals: La pertorbació i la propagació tenen la mateixa direcció (sòlids, líquids i gasos).
• Transversals: La pertorbació i la propagació són perpendiculars (superfícies de líquids, ones en cordes, ones electromagnètiques).

Relació entre MHS i Moviment Ondulatori

Al focus es produeix una pertorbació (Moviment Harmònic Simple - MHS) que es propaga a altres punts del medi.

• Equació del MHS al focus (x=0): x(t) = A · cos(ωt + φ₀) (Si t=0 → x=A).
• Velocitat del MHS al focus: v(t) = dx/dt = −A · ω · sin(ωt + φ₀).
• Velocitat màxima del MHS: vmax = A · ω.
• Relació freqüència angular i període/freqüència: ω = 2π / T = 2π · ν.

Rapidesa de l'Ona (v)

Distància recorreguda per la pertorbació per unitat de temps.

• Corda tensa: v = √(Tensió / μ) (on μ és la densitat lineal).
• Gas: v = √(γ · R · T / M) (on γ = Cp/Cv).
• En un medi homogeni, la rapidesa és constant: v = λ / T = λ · ν.

Equació d'una Ona Harmònica Transversal

Indica el valor de la pertorbació (y) en cada punt del medi (x) en qualsevol instant (t).

Condicions

• Focus puntual.
• Pertorbació: MHS.
• Amplitud (A) i rapidesa de l'ona (v) constants.

Paràmetres

• y: valor de la pertorbació en el punt (x) a l'instant (t).
• x: distància al focus.
• t: instant de temps.
• A: amplitud (valor màxim de la pertorbació).
• v: rapidesa de l'ona.
• T: període.
• λ: longitud d'ona (λ = v · T).
• ω: freqüència angular (ω = 2π / T).
• k: nombre d'ona (k = ω / v = 2π / λ).
• φ₀: fase inicial.

Formes de l'Equació

• y(x, t) = A · cos(ω(t − x/v))
• y(x, t) = A · cos(ωt − ωx/v) = A · cos(ωt − kx)
• Considerant fase inicial: y(x, t) = A · cos(ωt − kx + φ₀)
• Utilitzant període i longitud d'ona: y(x, t) = A · cos(2π(t/T − x/λ))

Aquesta equació descriu una ona que avança en el sentit positiu de l'eix x.

Elecció entre sin i cos

• Si quan t=0 i x=0, la pertorbació inicial és y₀ = A, s'utilitza cos.
• Si quan t=0 i x=0, la pertorbació inicial és y₀ = 0, s'utilitza sin (ajustant la fase inicial).

Periodicitat de les Ones Harmòniques

Les ones harmòniques mostren una doble periodicitat:

• Espacial: En un moment donat, hi ha punts diferents del medi en el mateix estat de vibració (estan en fase). La distància entre dos punts consecutius en fase és λ.
• Temporal: Cada punt del medi repeteix el seu estat de vibració cada interval de temps igual al període T.

Diferència de Fase (Δφ)

• Entre dos punts separats per una distància Δx a un mateix instant: Δφ = k · Δx = 2π (Δx / λ).
• En un mateix punt entre dos instants separats per Δt: Δφ = ω · Δt = 2π (Δt / T).
• Dos punts/instants estan en fase si Δφ = 2π · n rad (n enter).
• Dos punts/instants estan en oposició de fase si Δφ = (2n − 1)π rad (n enter).

Energia i Intensitat en el Moviment Ondulatori

Tota ona transporta energia i quantitat de moviment.

L'energia es distribueix per tot l'espai.

Intensitat (I)

Quantitat d'energia que travessa una unitat de superfície perpendicular (⊥) a la propagació per unitat de temps.

• I = ΔE / (ΔS · Δt) = Potència / Superfície
• Unitats: W/m².
• ΔE = I · ΔS · Δt

L'energia d'un oscil·lador harmònic és proporcional a l'amplitud al quadrat i a la freqüència angular al quadrat: E ∝ A² · ω² ∝ A² · ν².

La intensitat d'una ona harmònica és proporcional al quadrat de l'amplitud i al quadrat de la freqüència:

• I ∝ A² · ω² ∝ A² · ν²

Atenuació

Disminució de la intensitat de l'ona a mesura que es propaga.

Atenuació Geomètrica (en medi no absorbent)

• Ones esfèriques: L'energia es reparteix sobre superfícies esfèriques creixents. La intensitat disminueix amb el quadrat de la distància al focus (r). I ∝ 1/r². Com que I ∝ A², l'amplitud disminueix amb la distància: A ∝ 1/r. Per a dues distàncies r₁ i r₂: I₁ / I₂ = r₂² / r₁² i A₁ / A₂ = r₂ / r₁.
• Ones planes: L'energia es reparteix sobre superfícies planes de la mateixa àrea. En un medi no absorbent, la intensitat i l'amplitud són constants.

Atenuació per Absorció

L'ona interacciona amb el medi i part de la seva energia es dissipa (es transforma en calor, etc.). La intensitat disminueix exponencialment amb la distància recorreguda (x).

• Llei de Lambert-Beer: I = I₀ · e⁻βx (on I₀ és la intensitat inicial i β és el coeficient d'absorció del medi).

Principis i Fenòmens Ondulatoris

Principi de Huygens

Cada punt d'un front d'ones es converteix en el focus d'una nova ona esfèrica secundària (anomenada ondeta). El nou front d'ones, un instant després, és l'envolvent d'aquestes ondeta secundàries.

Reflexió

Canvi de direcció i sentit del front d'ones quan troba una superfície de separació entre dos medis, sense canvi de medi de propagació.

• El raig incident, el raig reflectit i la normal a la superfície en el punt d'incidència es troben en el mateix pla.
• L'angle d'incidència (θᵢ) és igual a l'angle de reflexió (θᵣ): θᵢ = θᵣ.

Refracció

Canvi de medi de propagació i, generalment, canvi de direcció de l'ona quan travessa la superfície de separació entre dos medis amb diferent rapidesa de propagació (també hi ha reflexió parcial).

• El raig incident, el raig refractat i la normal a la superfície en el punt d'incidència es troben en el mateix pla.
• Llei de Snell: La relació entre el sinus de l'angle d'incidència (θᵢ) i el sinus de l'angle de refracció (θᵣ) és constant i igual a la relació entre les rapideses de l'ona en els dos medis: sin θᵢ / sin θᵣ = v₁ / v₂.
• Si v₁ < v₂, existeix un angle límit (θ_L) per al qual l'angle de refracció és 90°. Per a angles d'incidència superiors a l'angle límit, es produeix reflexió total interna. sin θL = v₁ / v₂.

Difracció

Fenomen en què un front d'ones interacciona amb un obstacle o una obertura i es creen nous focus d'ones, provocant que l'ona es propagui en direccions diferents de la inicial (l'ona"rodej" l'obstacle o l'obertura).

És més apreciable quan la grandària de l'obstacle o l'obertura és comparable a la longitud d'ona (λ).