Optimització i Càlcul: Resolució de Problemes Matemàtics (PAC 1, 2, 3 i 5)

PAC 1

Pregunta 1. Determinar el vèrtex, màxims i mínims

El conjunt factible és el triangle compacte de vèrtexs els punts (2,3), (8,0) i (5,-3). Per calcular-ho igualem x i y a 0. Per calcular els màxims i mínims substituïm els punts a la funció; el resultat més alt és el màxim i el més baix, el mínim. Si hi ha més d'un màxim o mínim, es diu que hi ha infinits punts de màxim/mínim en tots els punts del segment que uneix ambdós vèrtexs.

Pregunta 2. Determinar el valor de a: f(x,y)=ax+2y i busca màxims

Perquè f(x,y) tingui infinits punts de mínim en el segment que uneix els vèrtexs (2,2) i (3,0), hauria de ser paral·lela a aquest segment. També la imatge a la funció objectiu d'ambdós punts ha de ser la mateixa:

f(2,2) = a(2) + 2(2) = 2a + 4

f(3,0) = a(3) + 2(0) = 3a

2a + 4 = 3a → a = 4. Per tant, la funció és f(x,y) = 4x + 2y

Ara busquem els màxims.

Pregunta 3. Determinar els valors de b per dir que el conjunt factible D és un conjunt no buit

Si representem primer les dues primeres desigualtats, obtenim que el conjunt de punts del pla, sent el punt (1,2) el vèrtex del conjunt de punts que compleixen aquestes dues desigualtats. Ara substituïm el punt (1,2) a la funció y = -2x + b, donant que b = 4. La recta y = -2x + 4 determina la recta perpendicular que passa pel punt (1,2); a partir d'aquest punt, qualsevol nombre superior a 4 tanca el conjunt.

Pregunta 4. Funció que maximitza el benefici i restriccions

L'enunciat diu que l'objectiu del fabricant és maximitzar la funció de benefici. I aquesta depèn de les quantitats produïdes de cada tipus de cadira i taula, per tant, aquestes seran les variables (x taules, y cadires). La funció objectiu ens vindrà donada per la maximització del benefici, així haurem de maximitzar la funció: f(x,y) = 950x + 180y. També tindrem limitacions, que provenen de les hores de feina disponibles, de la fusta necessària i de la demanda mínima i màxima per cada taula.

PAC 2

Pregunta 1. Es pot aplicar el Teorema de Weierstrass a la funció f(x,y) = x²/x²+y² -1 < x < 1, -1 < y < 1?

Les hipòtesis del Teorema de Weierstrass són que la funció sigui contínua en un conjunt D i que D sigui compacte, és a dir, tancat i fitat (llavors podem garantir l'existència d'almenys un màxim i un mínim en el conjunt). D és compacte, doncs es tracta de l'interior del quadrat de centre l'origen de coordenades i de costat 2, per tant, és fitat. Com totes les desigualtats són laxes, és, a més, tancat. No obstant això, f no és contínua en el punt (0,0) pertanyent a D; de fet, no està definida en aquest punt, per tant, f no és contínua en el domini D. Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weierstrass, doncs no es compleix una de les hipòtesis.

Pregunta 2. Vector gradient

1. Calcular derivades primeres de x i de y: ∂f/∂x i ∂f/∂y
2. Calcular vector gradient: ∇f(x,y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y), és a dir, ∇f(x,y) = (derivada respecte x, derivada respecte y).
3. Calcular vector gradient al punt que ens marquin.

Pregunta 3. Matriu Hessiana

La matriu hessiana és la matriu de les derivades parcials segones de f(x,y). Primer calculem les derivades parcials primeres. Ara calculem les derivades parcials segones. Ara calculem les matrius creuades: la derivada de y respecte x i la derivada de x respecte y (en aquest cas hem de fer-ho respecte les primeres derivades que havíem fet). La matriu Hessiana és:

Pregunta 4. Teorema de la Funció Implícita

El Teorema de la Funció Implícita assegura que en aquells punts (1,2), la funció defineix implícitament la variable y a partir d'aquesta la variable x, ja que la derivada primera de y ha de ser diferent a 0. Per tant, primer fem la derivada primera de y, i substituïm el punt; si és diferent de 0, calculem la derivada primera de x i apliquem la fórmula del teorema: Ara substituïm al punt (1,2):

Pregunta 5. Equació del pla tangent

Per calcular-ho, hem de buscar el punt que ens donen a la funció f(x₀,y₀), substituint el punt a la funció, després calculem el vector gradient al punt que ens han marcat, i finalment apliquem la fórmula:

Pregunta 6. Regla de la cadena

Per aplicar la regla de la cadena hem de fer les derivades primeres de x, de y, de x(t) i de y(t). I aplicar la fórmula: El resultat que ens doni, el substituïm per t=? (ens l'han de donar a l'enunciat), p.e.: f(1)=4+1=5

PAC 3

Pregunta 1. Determinar òptims (màxims i mínims) locals de la funció

1. Calculem les derivades parcials primeres de x i y.
2. Igualem a 0 les derivades parcials:
3. Ara calculem les derivades segones, fem la matriu Hessiana, i calculem la matriu Hessiana en ambdós punts.
4. Calculem els menors preferents dominants: La matriu Hessiana pot ser definida positiva (si tots els menors preferents dominants són positius diferents de 0, llavors el punt serà mínim local), semidefinida positiva (tots els menors són positius o zero, llavors serà convexa), definida negativa (si tots els menors preferents dominants són diferents de zero, i alternen els signes, el primer és negatiu, llavors el punt és un màxim local), semidefinida negativa (els menors preferents alternen el signe començant per negatiu, i pot ser zero, llavors serà còncava), indefinida (si no és cap de les anteriors) llavors serà punt de sella.

Pregunta 2. Trobar el valor d'a i b per tal que el punt (1,2) sigui punt crític de la funció

1. Calculem les derivades primeres de x i y de la funció.
2. Substituïm el punt a les derivades i les igualem a 0.

Pregunta 3. Càlcul de màxims i mínims pel mètode de substitució de f(x,y) = 2x² + y² subjecta a x + y = 9

1. Apartem la y de la restricció: y = 9 - x.
2. Substituïm la y de la funció: G(x) = 2x² + (-x + 9)² → G(x) = 3x² - 18x + 81.
3. Fem la derivada de G(x), i el resultat l'igualem a 0. El punt que ens dona és el candidat.
4. Ara fem la derivada segona de G'(x), si el resultat és major que 0 és un mínim relatiu, si és menor que 0 és un màxim. Per calcular els punts òptims, substituïm els punts candidats a G(x).

Pregunta 4. Mètode dels multiplicadors de Lagrange

1. Igualem la restricció a 0: x + y - 9 = 0.
2. Apliquem el mètode de Lagrange: L(x,y,λ) = 2x² + y² - λ(x + y - 9).
3. Fem les derivades primeres respecte de x, y i λ, i els resultats els igualem a 0, busquem els resultats de x i y que seran els punts crítics.

PAC 5

Pregunta 1. Comproveu si la funció discreta f(t) = t² - 5t - 6 és solució particular de l'equació en diferències tΔf(t) - 2f(t) = 6t + 12

Primer calculem f(t+1): Ara calculem Δf(t), utilitzant la fórmula de l'equació en diferències: Ara substituïm f(t+1) i Δf(t) a l'equació en diferències que ens donen a l'enunciat:

Pregunta 2. Com escriure una funció discreta

En aquest cas calculem en primer lloc f(t+1), ja que sabem que el capital augmenta un 30% cada any: f(t+1) = f(t) + 0,30f(t) Com volem deixar-ho tot en f(t), igualem la funció a 0: f(t+1) - f(t) - 0,30f(t) = 0 Ara ja tenim l'operador diferència de f(t), per tant, ja tenim la funció discreta, que és:

Pregunta 3. Comprovar si y(x) = e^(x²+x) és solució de l'equació diferencial y' - 2y = (2x-1)y

Fem la derivada de y: un cop trobada, substituïm y i y' a l'equació diferencial per veure si és solució:

Pregunta 4. Buscar una altra solució de l'equació diferencial

En primer lloc, despejem y' a l'equació diferencial: Mirem a quin model d'equació diferencial correspon, hi han dos models y'=a * y i y'=ay + b, i dues solucions: En aquest cas l'equació correspon al primer model, ja que y' = (2x+1) * y, on 2x + 1 és a. Per tant, la solució general és: y = A * e^((2x+1)x). La solució particular s'obté coneixent un punt de la funció i substituint (x,y) a la solució general.