Optimització de Funcions: Problemes Resolts

Problema 1: Col·leccionista de Segells i Monedes

Un col·leccionista té 50 objectes entre segells i monedes. Si un altre col·leccionista li dóna 3 segells a canvi d'una moneda, el producte del nombre de monedes pel nombre de segells és màxim. Quants segells i monedes tenia inicialment?

Resolució:

Siguin:

• x = nombre de segells
• y = nombre de monedes

Sabem que x + y = 50.

La funció a optimitzar és:

f(x) = (x + 3) · (50 - x - 1)

Desenvolupant el producte:

f(x) = (x + 3) · (49 - x) = -x² + 46x + 147

Per trobar els extrems relatius, derivem la funció:

f'(x) = -2x + 46

Igualem a zero per trobar els punts crítics:

-2x + 46 = 0

x = 23

Com que x + y = 50, llavors y = 27.

Per tant, inicialment tenia 23 segells i 27 monedes.

Problema 2: Preu i Benefici d'un Producte

El preu de cost d'una unitat d'un cert producte és de 120 €. Si es ven a 150 € la unitat, el compren 500 clients. Per cada 10 € d'augment en el preu, les vendes disminueixen en 20 clients.

a) Trobeu una fórmula per als beneficis.

Resolució:

Sigui x el nombre d'augments de 10 € en el preu.

Benefici = (Preu de venda - Preu de cost) · Nombre de clients

B(x) = (150 + 10x - 120) · (500 - 20x)

B(x) = (30 + 10x) · (500 - 20x)

B(x) = -200x² + 400x + 15000

b) Calculeu el preu per unitat per a un benefici màxim.

Resolució:

Per trobar el màxim, derivem la funció de benefici:

B'(x) = -400x + 400

Igualem a zero:

-400x + 400 = 0

x = 1

B''(x) = -400 (sempre negativa, per tant, és un màxim)

Preu de venda = 150 + 10 · 1 = 160 €

Per obtenir el benefici màxim, el preu de venda ha de ser de 160 €.

c) Trobeu el nombre d'unitats venudes i el benefici màxim.

Resolució:

Nombre de clients = 500 - 20 · 1 = 480

Benefici màxim = B(1) = -200 · 1² + 400 · 1 + 15000 = 15200 €

Es vendran 480 unitats i el benefici màxim serà de 15200 €.

Problema 3: Collita de Pomeres

Un equip de treballadors ha de fer la collita d'un camp de pomeres a partir de l'1 d'octubre i només poden treballar durant un dia. Si la collita es fa l'1 d'octubre, es colliran 60 tones i el preu serà de 2000 €/tona. Sabem que a partir d'aquest dia, la quantitat que es pot collir augmenta en una tona cada dia, però el preu de la tona disminueix en 20 €/dia.

a) Fórmula dels ingressos en funció dels dies.

Resolució:

Sigui x el nombre de dies transcorreguts des de l'1 d'octubre.

Ingressos = (Quantitat collida) · (Preu per tona)

I(x) = (60 + x) · (2000 - 20x)

b) Quants dies han de passar per a ingressos màxims?

Resolució:

Desenvolupem la fórmula:

I(x) = 120000 - 1200x + 2000x - 20x²

I(x) = -20x² + 800x + 120000

Derivem la funció:

I'(x) = -40x + 800

Igualem a zero:

-40x + 800 = 0

x = 20

Han de passar 20 dies per obtenir els ingressos màxims.

c) Valor màxim dels ingressos per la collita.

Resolució:

I(20) = -20 · (20)² + 800 · 20 + 120000 = 128000 €

El valor màxim dels ingressos és de 128000 €.

d) Dies per a ingressos iguals al dia 1 d'octubre.

Resolució:

Volem trobar x tal que I(x) = 120000:

-20x² + 800x + 120000 = 120000

-20x² + 800x = 0

20x(-x + 40) = 0

Solucions: x = 0 (dia 1 d'octubre) i x = 40

Al cap de 40 dies s'obtindran els mateixos ingressos que el primer dia.

Problema 4: Anàlisi de la Funció

Troba els intervals de creixement, els extrems relatius, la curvatura i el punt d'inflexió de la funció f sabent que les gràfiques de f' i f'' són les següents: (gràfica)

Resolució:

• Com que f'(x) > 0 si x ∈ (-1, +∞), f és creixent en (-1, +∞).
• Com que f'(x) < 0 si x ∈ (-∞, -1), f és decreixent en (-∞, -1).
• f'(x) = 0, Extrem relatiu: x = -1.
• Com que f''(x) > 0 si x ∈ (-2, +∞), f és còncava en (-2, +∞).
• Com que f''(x) < 0 si x ∈ (-∞, -2), f és convexa en (-∞, -2).
• x = -2 és un punt d'inflexió.

Problema 5: Determinació de Coeficients

Sigui f(x) = ax³ + bx² + cx. Sabem que la funció té un màxim relatiu en (0, 0) i un punt d'inflexió en (1, -2). Determina a, b, c.

Resolució:

f(0) = 0

f(1) = a + b + c = -2

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f'(0) = c = 0 (màxim relatiu en x = 0)

a + b = -2

f''(x) = 6ax + 2b

f''(1) = 6a + 2b = 0 (punt d'inflexió en x = 1)

Tenim el sistema:

a + b = -2

6a + 2b = 0

c = 0

Resolem el sistema:

b = -3a

a + (-3a) = -2

-2a = -2

a = 1

b = -3

Per tant, a = 1, b = -3, c = 0.