Osnove Sistema Automatskog Upravljanja (SAU): Od Signala do Stabilnosti

1. Sistem Automatskog Upravljanja (SAU)

SAU je dinamički sistem koji se vremenom ponaša na određen, propisan način, generalno bez čovekovog uticaja. Osnovne komponente SAU su:

• 1. Proces, odnosno objekat upravljanja.
• 2. Jedan ili više senzora, koji pružaju informaciju o procesu.
• 3. Regulator, koji upoređuje izmerene vrednosti sa željenim vrednostima i na osnovu toga generiše ulazne promenljive u proces.

2. Klasifikacija Signala

Razlikujemo sledeće tipove signala:

• Vremenski Kontinualni Signal: Signal koji je definisan u kontinualnom opsegu vremena.
• Vremenski Kontinualni Analogni Signal: Signal čija amplituda pripada kontinualnom opsegu vrednosti.
• Vremenski Kontinualni Kvantovani Signal: Signal čija amplituda može imati vrednost iz konačnog skupa različitih vrednosti. Proces predstavljanja promenljive konačnim skupom različitih vrednosti naziva se Kvantizacija.
• Vremenski Diskretni Signal: Signal koji je definisan samo u diskretnim vremenskim trenucima.
• Uzorkovani Signal: Vremenski diskretni signal čija amplituda pripada kontinualnom opsegu vrednosti. Uzorkovani signal se može generisati Uzorkovanjem analognog signala u diskretnim vremenskim trenucima.
• Digitalni Signal: Vremenski diskretni signal sa kvantovanom amplitudom. Takav signal se može predstaviti sekvencom brojeva, npr. binarnim brojevima. Očigledno je da je digitalni signal kvantovan i po amplitudi i po vremenu.

3. Matematički Alati u Analizi Sistema

3.1. Diskretna Laplasova Transformacija

3.2. Konvoluciona Teorema

3.3. Integracija (Pomoću Laplasove Transformacije)

Integracija se vrši duž linije paralelne imaginarnoj osi u $p$-ravni, koja razdvaja polove $X(p)$ od polova $\frac{1}{(1- )}$.

3.4. Teorema Ostatka

Ako je $C$ zatvorena kontura i ako je $f(z)$ analitička funkcija unutar i na konturi $C$ izuzev u konačnom broju singularnih tačaka u unutrašnjosti $C$ onda je:

$$\oint_C f(z)dz = 2\pi j \sum_{i=1}^n Res(f(z), p_i)$$

Gde $r_1, r_2, \dots, r_n$ su ostaci funkcije $f(z)$ u singularnim tačkama $p_1, p_2, \dots, p_n$.

3.5. Osobine Periodičnosti (Za Kontinualne Sisteme)

• Osobina 1: $X^*(s)$ je periodična po $s$ sa periodom $j\omega_s$.
• Osobina 2: Ukoliko $X(s)$ ima pol u $s=s_1$, onda $X^*(s)$ mora imati polove u $s=s_1+jn\omega_s$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$

3.6. Šenonova Teorema Odabiranja

Vremenski kontinualni signal $x(t)$, koji ne sadrži frekvencijske komponente veće od $\omega_1$, se može kompletno rekonstruisati na osnovu uzorkovanih vrednosti $x^*(t)$ ukoliko je kružna učestanost uzorkovanja $\omega_s$ veća od $2\omega_1$, tj. $\omega_s > 2\omega_1$.

3.7. Realni SAU

U realnim SAU nije moguće tačno rekonstruisati kontinualni signal posle njegove diskretizacije.

4. Z-Transformacija i Inverzna Z-Transformacija

4.1. Z-Transformacija

4.2. Inverzna Z-Transformacija

4.3. Metode za Inverznu Z-Transformaciju

4.3.1. Razvoj u Stepeni Red

Inverzna Z-transformacija se dobija razvojem $X(z)$ u beskonačni stepeni red po kompleksnoj promenljivoj $z^{-1}$. Ovaj red se dobija direktnim deljenjem brojioca i imenioca. Ovaj metod je koristan kada je teško dobiti zatvorenu formu izraza za inverznu Z-transformaciju ili kada je potrebno naći samo prvih nekoliko vrednosti $x(k)$.

4.3.2. Razvoj u Parcijalne Razlomke

Ova metoda zahteva da su dobijeni parcijalni razlomci tablični slučajevi u tablici Z-transformacija. Procedura je sledeća:

1. Razviti $X(z)/z$ ili $X(z)$ u sumu prostih razlomaka prvog ili drugog reda.
2. Odrediti inverznu transformaciju $x(k)$ primenom tabele Z-transformacija.

4.3.3. Rešavanje Definicijonog Integrala

$x(kT)=\sum Res(X(z)z^{k-1}, \text{u polovima } X(z)z^{k-1})$.

5. Funkcija Prenosa Diskretnih Sistema

5.1. Osobina Periodičnosti (Za Diskretne Sisteme)

$Y^*(s)=(G(s)X^*(s))^*=G^*(s)X^*(s)$.

5.2. Diskretna Funkcija Prenosa

$G(z)=Y(z)/X(z)$

5.3. Postojanje Funkcije Prenosa

U linearnim vremenski diskretnim sistemima, diskretna funkcija prenosa ne mora da postoji.

6. Analiza Greške u Ustaljenom Stanju

Odskočni ulazni signal $r(t)=r_0h(t)$, $r_0=\text{const} \rightarrow R(z)=\frac{r_0z}{z-1}$

$k_p = , k_v = $

Nagibni ulazni signal: $r(t)=vth(t)$, $v=\text{const} \rightarrow R(z)=\frac{vTz}{(z-1)^2}$

Parabolični ulazni signal: $r(t)=at^2h(t)/2$, $a=\text{const} \rightarrow R(z)=\frac{aT^2z(z+1)}{2(z-1)^3}$

7. Prostor Stanja

7.1. Osnovne Jednačine

- Jednačina stanja, Jednačina izlaza.

7.2. Fundamentalna Matrica

Fundamentalna matrica sadrži potpunu informaciju o slobodnom kretanju autonomnog sistema.

7.3. Matrica Diskretne F-je Prenosa

$Y(z)=G(z)U(z)$, gde je $G(z)=C(zI-A_d)^{-1}B_d+D$.

Karakteristična j-na vremenski diskretnog sistema: $|zI-A_d|=0$.

7.4. Vremenski Diskretni Model Kontinualnog Sistema

$x((k+1)T)=A_d(T)x(kT)+B_d(T)u(kT)$; $y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)$.

8. Kontrolabilnost i Opservabilnost

8.1. Kontrolabilnost

Potreban i dovoljan uslov za kontrolu stanja sistema je:

Potreban i dovoljan uslov izlazne kontrole je:

U slučaju $D=0$, potreban i dovoljan uslov izlazne kontrole postaje sve isto samo bez.

Potreban i dovoljan uslov potpune kontrole sistema je da nema skraćivanja u diskretnoj funkciji prenosa.

8.2. Opservabilnost

Potreban i dovoljan uslov potpune opservabilnosti je:

Potreban i dovoljan uslov potpune opservabilnosti stanja je da nema skraćivanja polova i nula u diskretnoj funkciji prenosa.

8.3. Invarijantnost Osobina

Diskretni model kontrolabilnog i opservabilnog vremenski kontinualnog sistema će ostati kontr. i ops. ako i samo ako za svaku sopstvenu vrednost karakteristične jednačine vremenski kontinualnog sistema važi sledeća relacija:

, $n=\pm1,\pm2...$

Gubitak kontrolabilnosti i opservabilnosti se može izbeći adekvatnim izborom periode uzorkovanja $T$. Osobine kontr. i ops. sistema su invarijantne na nesingularnu linearnu transformaciju promenljivih stanja.

9. Stabilnost Diskretnih Sistema

9.1. Preslikavanje Ravni Stabilnosti

Oblast stabilnosti u $s$-ravni se preslikava u unutrašnjost jediničnog kruga u $z$-ravni.

9.2. Asimptotska Stabilnost

Linearni vremenski invarijantni diskretni sistem je asimptotski stabilan ako njegov odziv na nenulte početne uslove asimptotski opada ka nultom ustaljenom stanju, tj. ako:

(ili u prostoru stanja).

Ukoliko odziv sistema pri dejstvu nenultih početnih uslova ne teži nuli ali ostaje ograničen, kaže se za sistem da je granično (kritično)stabilan.

9.3. Karakteristična Jednačina i Parametri

Karakteristična jednačina linearnog vremenski invarijantnog diskretnog sistema određuje njegovu stabilnosti: $F(z)=1+D(z)G(z)=0$.

Relativni faktor prigušenja i neprigušena prirodna učestanost:

Vremenska konstanta sistema:

9.4. Bilinearna Transformacija

$z=\frac{1+w}{1-w} \rightarrow w=\frac{z-1}{z+1}$

10. Nikvistov Kriterijum za Diskretne Sisteme

10.1. Uslovi za Kritičnu Tačku

GMK: $W_o(z)=-1$; Uslov argumenta: $\arg\{W_o(z)\}=\pm\pi(2k+1)$, $k=0,1,2..$; Uslov amplitude: $|W_o(z)|=1$. Vrednosti $z$ koje zadovoljavaju oba uslova su koreni karakteristične jednačine, odnosno polovi diskretne funkcije spregnutog prenosa.

10.2. Košiјеva Teorija Argumenata

Nikvistov kriterijum se bazira na Košiјеvoj teoriji argumenata: Neka je $C$ prosta zatvorena kontura (ne seče samu sebe i počinje i završava u istoj tački) u kompleksnoj $z$-ravni. Neka je $F(z)$ racionalna funkcija kompleksne promenljive $z$. Ako je $F(z)$ analitička funkcija unutar $C$, osim u konačnom broju polova, i ako $F(z)$ nema ni polova ni nula na $C$, onda kako se $z$ menja duž $C$ u smeru kazaljke na satu u $z$-ravni, funkcija $F(z)$ obuhvata koordinatni početak $(\text{Re}\{F(z)\}, j\text{Im}\{F(z)\})$-ravni u istom smeru $N$ puta, gde je $N$ dato sa $N=Z-P$, pri čemu su $Z$ i $P$ brojevi nula i polova (uključujući njihovu višestrukost) funkcije $F(z)$ unutar konture $C$. $N=Z-P \rightarrow \Delta\arg\{F(z)\}=2\pi(Z-P)$, $z\in C$.

10.3. Primena na Stabilnost

Da bi se utvrdila stabilnost sistema upravljanja primenom Nikvistovog kriterijuma, posmatra se dijagram u kompleksnoj ravni funkcije povratnog prenosa. Ovaj dijagram se zove Nikvistov Dijagram. Zatvorena putanja $C$ iz Košiјеve teoreme argumenata se naziva Nikvistova Kontura. U slučaju vremenski kontinualnih sistema, Nikvistova kontura obuhvata nestabilnu oblast, tj. desnu poluravan $s$-ravni.

Za pozitivni smer obilaska po konturi je usvojena rotacija SUPROTNO OD KAZALJKE NA SATU.

Uslov stabilnosti je da sve nule $F(z)$ budu izvan Nikvistove konture, tj. $Z=0$. $\Delta\arg\{F(z)\}=2\pi P$, $z\in C$.

10.3.1. Konačni Uslov Stabilnosti

$\Delta\arg\{W_o(\frac{e^{j\theta}-1}{e^{j\theta}+1})\}=\pi P$; $(-1,j0)$, $\theta\in[0,\pi]$.

10.3.2. Potreban i Dovoljan Uslov Stabilnosti

POTREBAN I DOVOLJAN USLOV STABILNOSTI spregnutog vremenski diskretnog sistema upravljanja je da za $\theta\in[0, \pi]$, Nikvistov dijagram $W_o(\frac{e^{j\theta}-1}{e^{j\theta}+1})$ obuhvati kritičnu tačku $(-1,j0)$ u pozitivnom smeru $P/2$ puta, gde je $P$ broj nestabilnih polova diskretne funkcije povratnog prenosa $W_o(z)$.

11. Margine Stabilnosti

11.1. Pretek (Maržina) Pojačanja i Faze

• Pretek (Maržina) Pojačanja je faktor kojim treba pomnožiti pojačanje sistema da bi sistem došao do granice stabilnosti.
• Pretek (Maržina) Faze je ugao za koji treba zarotirati Nikvistov dijagram tako da dijagram prođe kroz kritičnu tačku $(-1, j0)$.

Definišu se dve učestanosti: $\omega_{cg}$ – presečna učestanost pojačanja, $\omega_{cp}$ – presečna učestanost faze.