Osziladore Harmoniko Sinplea eta Partikula-Sistema Teoremak

Osziladore Harmoniko Sinplea

Adierazpen Matematikoa

Higidura oszilakorra deskriba dezakeen sistema mekaniko sinple bat kontsideratuko dugu: adibidez, irudian agertzen den moduan, m masa bat k konstantedun malguki bati lotua. Malgukia konprimatzen badugu, bere hasierako posiziora itzularazten dion indar bat azalduko da. Gauza bera gertatuko da, malgukia luzatzen badugu. Garrantzitsuena hauxe da: malgukiak egindako indarra oreka posiziotik jasan duen desplazamenduaren proportzionala dela. (Kontsideratzen dugun desplazamendua, oreka posiziotik dago neurtuta. Adibidez, posizio bertikalean eta fluido batean murgilduta dagoen malguki baten oreka posizioa, m-ren pisua eta Arkimedezen bultzada kontutan hartuta kalkulatuko da).

Oreka posizioa, x=0 baldin bada eta oreka posizio horretatik m masa x distantziara desplazatzen bada, m-k jasango duen F indarrak F=-kxî=-kx ekuazioa beteko du. Minus zeinuak indarra desplazamenduaren aurkakoa dela eta oreka berreskuratzeko joera daukala adierzten digu. Partikularen posizioaren eta azelerazioaren arteko erlazioa lortzeko, Newtonen bigarren legea erabiliko dugu: F=-kx=m¨x edo ¨x=-kx/m; w₀=√k/m izendatzen badugu, osziladore harmoniko askearen higidura-ekuazioa lortuko dugu: ¨x+w₀²x=0.

Aurreko ekuazioa bigarren ordenako ekuazio diferentzial lineal bat da, eta koefiziente konstanteak dauzka. Bere soluzio orokorrenak, x(t) desplazamenduak bi hautazko konstante, A eta (γ), dauzka eta ondoko adierazpena du: x(t)=Asin(w₀t+(γ)).

Aurreko emaitza ¨x+w₀²x=0 ekuazioaren emaitza dela egiaztatzeko, deribatu egin behar dugu bi aldiz denborarekiko, abiadura eta azelerazioa lortuz: v=x’=Aw₀cos(w₀t+(γ)); a=¨x=-Aw₀²sin(w₀t+(γ))=-w₀²x. ¨x+w₀²x=0 ekuazioa honela idatziko da: ¨x+kx/m=0=-w₀²x+kx/m; w₀=√k/m.

x(t)=Asin(w₀t+(γ)) adierazpenean agertzen diren A eta (γ) hautazko konstanteak, aztertzen ari garen problema fisikoaren araberakoak dira. Hasierako baldintza batzuk jakin behar ditugu: posizioaren eta abiaduraren balioak t₀ aldiune batean. Adibidez, baldin t₀=0, x₀=x(0)=Asin(γ) eta x₀’=x’(0)=Aw₀cos(γ), beraz A=(√x₀’²+x₀²w₀²)/w₀; (γ)=arctg(x₀w₀/x₀’). A-ren eta (γ)ren interpretazio fisikoa berehalakoa da: Alde batetik, sin(w₀t+(γ)) funtzioaren balioa +-1 tartean aldatzen da. Horrela, x-ren balio maximoa eta minimoa +-A dira. Orduan A, x-ren elongazio maximoa da eta oszilazioaren anplitudea deitzen da. Eta bestetik, sinu funtzioaren argumentua angelu bat da, (φ)=w₀t+(γ). Angelu hau denborarekin handitu egiten da eta fasea deitzen zaio; horrela, (γ) hasierako fasea da, hots, fase-angelua t=0 denean.

x(t)=Asin(w₀t+(γ)) adierazpenak deskribatzen duen higidura, higidura periodikoa da; denbora, (Δ)t=T₀=2(Π)/w₀ tarteaz, handitzen bada x-en balio berbera lortzen dugu (t aldiunekoa): x(t+T₀)=Asin[w₀(t+T₀)+(γ)]=Asin(w₀t+2(Π)+(γ))=Asin(w₀t+(γ))=x(t). Funtzio trigonometriko baten argumentua 2(Π) handitzen bada, balio berbera dauka. Fisikoki, t eta t+T₀, aldiuneen artean, masak ziklo oso bat egin du bere posizioaren eta abiaduraren balio berberak berreskuratuz. Higiduraren periodoa honela adierazten da: T₀=2(Π)/w₀=2(Π)√m/k; w₀=√k/m azken adierapena, osziladore askearen berezko maiztasun angeluarra edo pultsazioa da. Abiaduraren eta azelerazioaren anplitudeak kalkula daitezke : v=x’=Aw₀cos(w₀t+(γ)) eta a=¨x=-Aw₀²sin(w₀t+(γ))=-w₀²x ekuazioak erabiliz, hurrenez hurren. Abiaduraren anplitudearen balio maximoa da: Aw₀. Azelerazioaren anplitudearen balio maximoa da: Aw₀². Irudian, desplazamenduaren, abiaduraren eta azelerazioaren denborarekiko aldaketak batera agertzen dira. Hasierako fasea (γ)=(Π)/2 da. Ikusten dugunez, (Π)/2 radianeko fase angelu positiboak “sinu” kurba bat “kosinu” kurba bihurtzen du. Ondorioz, desplazamendua (Π)/2 radianetan dago aztertuta abiadurarekiko. Abiadura fase-koadraturan dago desplazamenduarekiko: hots abiadura maximoa da desplazamendua zero denean eta abiadura zero da desplazamendua maximoa denean. Abiaduraren maximoa eta minimoa beti zikloaren laurden batean daude aurreratuta desplazamenduaren maximo eta minimoekiko. Desplazamendua, berriz, (Π) radianetan dago desplazatuta azelerazioaren fasearekiko. Azelerazioa fase-oposizioan dago desplazamenduarekiko: hau da, azelerazioak maximo positiboa dauka desplazamenduak maximo negatiboa duenean eta alderantziz.

Kontsiderazio Energetikoak

Osziladore harmoniko askea ez da nahitaez sistema mekaniko isolatu bat. Malgukiaren kasuan, mutur bat euskarri zurrun batean lotuta egon behar da eta penduluaren kasuan, lotura puntu bat behar dugu (hortik gure sistema zintzilikatzeko). Airearen marruskadura eta malgukiaren marruskadura indarrak arbuiatzen baditugu, osziladore askearen energia totala kontserbatu egin behar da. Aipaturikoa oso garrantzitsua da, beste higidura oszilakor konplexuagoak aztertzen lagunduko baitigu. Jarraian egingo dugun analisiak, masa eta malgukiaren kasurako ez ezik sistema oszilakor aske guztietarako ere balio du.

Abiadura zero izateak desplazamendua maximoa denean eta abiadura maximoa izateak desplazamendua zero denean, energia potentzialaren eta energia zinetikoaren arteko elkartrukea adierazten digute, energia totala konstante irauten duelarik. Ondoko balioak berdinak dira: (a) edozein aldiunetako energia totala, (b) energia potentzial maximoa eta (c) energia zinetiko maximoa. Hau da: E=E_p+E_z=E_p^max=E_c^max.

x=Asin(w₀t+(γ)) soluzioak, non x desplazamendua oreka posizioarekiko den, energia totalak konstante dirauela inplikatzen du: x=+-A desplazamenduaren anplitudea, energia potentzial maximoko posizioan, ziklo erdiro berrezkuratzen delako (energia galera dagoenean anplitudea gradualki gutxitu egiten da). Energia potentzialaren jatorria x=0 oreka posizioan aukeratzen badugu, energia horrek ondoko adierazpena dauka: E_p=-(∫)(x)-kxdx=1/2kx²=mA²w₀²sin²(w₀t+(γ)). Energia zinetikoa horrelaxe adierazten da: E_z=mx’²/2=mA²w₀²cos²(w₀t+(γ)). Eta energia mekaniko totalaren adierazpena ondokoa izango da: E=mx’²/2+kx²/2 eta E energia konstantea da, dE/dt=(m¨x+kx)x’=0 edozein aldiunetako eta edozein x baliotarako energia totala ondokoa da: E=mx’²/2+kx²/2=1/2mA²w₀²[cos²(w₀t+(γ))+sen²(w₀t+(γ))]=mA²w₀²/2=kA²/2 energia potentzial maximoa x=+-A-ri dagokiona da: E_p^max=kA²/2. Energia zinetiko maximoa hauxe da: E_z^max=(mx’²/2)_max=1/2mA²w₀²[cos²(w₀t+(γ))]_max=mA²w₀²/2=kA²/2. Pendulu sinplearen kasuan, A-ren baliokidea, angeluerdi maximoa, (θ)₀ izango litzateke eta k=mw₀² berriz, k=mg/l izango litzateke. Irudiak energiaren banaketa adierazten du, desplazamenduaren menpe. Ohar gaitezen energia potentzialaren kurba, x-rekiko parabolikoa izateaz gain, simetrikoa dela, x=0-ren inguruan; hori dela eta, osziladoreak, x positiboa zein negatiboa denean metatzen du energia. Energia zinetikoaren kurba x-ekiko zein x’-rekiko parabolikoa da. Kurba baten bestearekiko alderanzketak (Π)/2-ko fase-diferentzia adierazten du: desplazamenduaren eta abiaduraren artean (desplazamendua energia potentzialarekin erlazionatuta dago eta abiadura, zinetikoarekin). Bi kurben ordenatuen batura E energia total konstantea da, edozein x desplazamenduaren baliorako.

Partikula-Sistema Teoremak: Momentu Lineala, Momentu Angeluarra eta Energia

Partikula-sistema baten momentu linealaren teorema

Demagun 2 partikulaz osaturiko sistema, eta bien arteko indarra soilik jasaten ari direla. Aplika diezaiogun partikula bakoitzari Newonen 2.legea F_2-1=dp₁/dt, F_1-2=dp₂/dt. Partikula biek indarra jasaten dutenez, momentu lineaalak aldakorrak izango dira denboran zehaar: {p₁(t), p₂(t)}. Baina, hala ere, elkarri egiten dioten indarrek Newtonen hirugarren legea ere betetzen dutenez (akzio-erreakzioarena): F_2-1=-F_1-2, eta goiko ekuazioak gehituz, honakoa lortzen da: 0=dp₁/dt+dp₂/dt=d(p₁+p₂)/dt hau da: p₁(t)+p₂(t)=kte defini dezagun sistemaren momentu lineal totala, P honela: P=p₁+p₂. P konstante izango da, ez da denboran zehar aldatuko.

Bi partikulek indar gehiago ere jasaten baldin badituzte, esaterako, kanpoko agenteek eragindako indarrak edo kanpo-indarrak oraingo honetan, Newtonen bigarren legeak honela idazten dira: F_1kan+F_2-1=dp₁/dt, F_2kan+F_1-2=dp₂/dt. Lehen bezala, aurreko bi ekuazioak geituz eta P=p₁+p₂ ekuazioa kontuan artuz, honakoa gertatuko da: F_1kan+F_2kan=F_kan=dP/dt. Orain, sistemaren momentu lineal totala ez da konstantea, bere deribatua ez delako nulua, kanpo-indar erresultantea baizik (F_kan). Bi partikula baino gehiago izanik ere, N partikuladun sistemetan, aurreko prozedura bera jarrai daiteke eta emaitza bera lortuko da: F_kan=dP/dt. Hemen F_kan kanpoko-indarren erresultantea da (partikula guztiek jasaten dituzten kanpo-indarren batura bektoriala), eta P sistemaren momentu lineal totala (sistema osatzen duten partikula guztien momentu linealen batura bektoriala). Aurreko ekuazioari partikula-sistemaren momentu linealaren teorema deritzo, eta horren arabera, partikula-sistema baten momentu lineal totalaren denborarekiko deribatua eta sistemak jasaten duen kanpo-indarren erresultantea, berdinak dira. Ikusten denez, barne-indarrek ezin dute partikula-sistema osoaren momentu lineala aldatu.

Teorema horren berehalako ondorioa da, momentu linealaren kontserbazioaren teorema, alegia, kanpo-indarren erresultantea nulua bada, orduan sistemaren momentu lineal totala konstante kontzerbatzen da. F_kan=0 dP/dt=0 P=kte.

Partikula-sistema baten momentu angeluarraren teorema

Defini ditzagun lehenik:

• Partikula-sistema batek duen momentu angeluar totala (L_o) erreferentzia-sistema inertzial baten O jatorriarekiko: partikula guztien momentu angeluarren batura bektoriala, denak O puntu berarekiko.
• Kanpo-indar guztien momentuen erresultantea (M_okan), denak O jatorriarekiko: partikula guztiek jasaten dituzten indarren momentuen batura bektoriala, denak O puntu berarekiko.

Eta barne-indarrek Newtonen 3.legea betetzen dutenez (akzio-erreakzioarena) froga daiteke, aurreko atalean bezalaxe, barne-indarren momentuak elkarrekin eta bikoteka, baliogabetzen direla, beraz, kanpo-indarren momentuek soilik alda dezakete sistema osoaren momentu angeluarra M_okan=dL_o/dt. Adierazpen horri partikula sistema baten momentu angeluarraren teorema deritzo, eta hitzez, honela azal daiteke: partikula sistema batek, erreferentzia-sistema inertzial baten O jatorriarekiko, daukan momentu angeluar totalaren deribatua denborarekiko, eta sistema eragiten ari zaizkion kanpo-indarren momentu erresultantea berdinak dira, momentuak ere erreferentzia-sistema berdinaren O jatorriarekiko hartuta.

Teorema horren berehalako ondorioa da, momentu angeluarraren kontserbazioaren teorema, alegia, kanpo-indarren momentu erresultantea nulua bada, orduan sistemaren momentu angeluar totala konstante kontserbatzen da (bai momentu angeluarrak, L, zein indarren momentuak, M, puntu berarekiko kalkulatzen dira, O). M_okan=0 dL_o/dt=0 L_o=kte. Momentu angeluarraren teoremaren arabera, barne-indarrek ezin dute sistema osoaren momentu angeluarra aldatu, kanpokoek soilik. Horren arrazoia da, barne-indarren momentua nulua dela (M_obar=0), indarrok akzio-erreakziozkoak direlako. Erraz ikusten da bi partikulen kasuan: M_obar(1,2)=M_o(F_2-1)+M_o(F_1-2)=r₁xF_2-1+r₂xF_1-2=(r₂-r₁)xF_1-2=0. Eta partikula-sistema osatzen duten bikote bakoitzerako prozedura bera errepika daiteke, eta bikote guztietan nulu ematen duenez, sistema osoarentzat ere nulua ematen du: M_obar=0.

Partikula-sistema baten energiaren teorema

: aurretik defini dezagun: -sistemaren energia zinetikoa (Ez) sistema osatzen duten partikula guztien energia zinetikoen batura. - barne-indarren lan totala (Wbar), barne indarrek partikula guztiengan eragiten duten lan guztien batura. -kanpo-indarren lan totala (Wkan) kanpo-indarrek partikula guztiengan eragiten duten lan guztien batura. Froga daiteke: Wkan+Wbar=(delta)Ez. Adierazpen horri partikula-sistemaren energiaren teorema deritzo, eta beraren arabera, partikula sistemari eragiten dioten indar guztiek egindako lana, bai barnekoek zein kanpokoek, eta sistemaren energia zinetikoaren aldaakuntza berdinak dira. Momentu linealean eta momentu angeluarrean ez-bezala, oraingo honetan, energian, bai kanpo-indarrek eta baita barnekoek ere, badute eragina sistemaren energia zinetikoan. Orokorrean, barne-indarren lan totalak ez du zertan nulua izan, zeren nahiz eta indarrak akzio-erreakzioak izan, desplazamenduek ez daukate zertan berdinak izan, eta bikoteka ez dute lan totala baliogabetzen. *dWbar(1,2)=dW(F2-1ª)+dW(F1-2ª)=F2-1ªdr1ª+F1-2ªdr2ª=F1-2ª(dr2ª-dr1ª)(desberdin)0.