Polinomis i Funcions: Arrels, Teoremes i Anàlisi

Arrels i Teoremes de Polinomis

Arrel o zero d'un polinomi

Un nombre és arrel o zero d'un polinomi quan, en dividir aquest polinomi entre (x-r), el residu de la divisió és nul.

Teorema del residu

Quan dividim un polinomi P(x) entre (x-a), el residu de la divisió és igual al valor numèric per x=a: P(a) [residu].

La principal aplicació del teorema del residu és pel cas que 'a' sigui una arrel o zero.

Les arrels o zeros d'un polinomi ens indiquen l'eix de les x i, a més, el nombre d'arrels coincideix exactament amb el seu grau. Per aquest motiu, el valor numèric de l'arrel és nul. [Arrel de P(x), és un valor tal que P(r)=0].

Quan es busquen arrels o zeros d'un P(x), si són enteres, han de ser obligatòriament divisors del terme independent.

TEOREMA DE GAUSS

Teorema fonamental de l'àlgebra

1. Tot polinomi de grau 'n' té 'n' arrels: P(x) = a_nxⁿ + ... + a₂x² + a₁x + a₀
2. Si les arrels del polinomi són enteres, són divisors del terme independent.
3. Si una de les arrels és imaginària, va aparellada amb la seva conjugada. (Les arrels imaginàries sempre van en parelles).
4. Un cop buscades les arrels, el polinomi es pot factoritzar en n+1 factors:
   • a- El primer és a_n, coeficient de la xⁿ.
   • b- Els 'n' factors restants són binomis de la forma (x-r_i), on r_i són totes les arrels buscades.
   • c- Si surten arrels imaginàries, com que van aparellades de dos en dos, en fer la factorització, es deixen empaquetades en polinomis de segon grau.

FUNCIONS POLINÒMIQUES

Són funcions de la forma: F(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

Són funcions contínues (es poden dibuixar sense haver d'aixecar el llapis).

Una funció és una relació entre dues variables de manera que per cada X hi ha una sola Y.

QUATRITAULA

• Línia X: Domini de la funció
• Línia Y: Recorregut de la funció
• Línia Y: Recorregut del creixement
• Línia Y: Concavitat o convexitat

CREIXEMENT I DECREIXEMENT d'una funció

Per saber si una funció creix o decreix, es pot fer per observació de la gràfica, o bé si encara no tenim la gràfica, estudiant la derivada de la funció.

a) Taxa mitjana d'una funció entre dos punts

Sigui f(x) una funció contínua en un interval: Tm_A,B = (f(B) - f(A)) / (B - A) = tg α = m_secant.

Quan una funció està creixent en un interval, la taxa mitjana és positiva, i si és decreixent, la taxa és negativa.

b) Taxa instantània d'una funció en un punt

o derivada de la funció en un punt: és el límit del quocient incremental quan l'increment de x es fa infinitament petit: T_i = f'(x) = lim_Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)] / Δx = tg α_tangent = m_tangent.

Si fem que el punt B s'acosti a poc a poc al punt A, arribarà el moment que la recta que era secant passarà a ser tangent (un sol punt de connexió amb la corba). Si la taxa mitjana amidava el pendent de la recta secant, la taxa instantània mesurarà el pendent de la recta tangent.

La taxa instantània, en el cas de la velocitat, coincideix amb la velocitat instantània.