Resum de Càlcul i Àlgebra: Funcions, Asímptotes, Sistemes

Anàlisi de Funcions: Derivades i Extrems

Estudi de la Primera Derivada

1. Trobar el domini de la funció. Recorda que si és un polinomi (p. ex., 8x² + 4x - 3), el domini són tots els reals (ℝ).
2. Calcular la primera derivada (f'(x)) i trobar els valors de x on f'(x) = 0 o no existeix. Aquests són els punts crítics.
3. Crear una taula d'intervals utilitzant els punts crítics, les restriccions del domini i ±∞.
4. Substituir valors de prova dins de cada interval a la primera derivada f'(x):
   • Si f'(x) > 0 (+), la funció és creixent en aquest interval.
   • Si f'(x) < 0 (-), la funció és decreixent en aquest interval.
5. Assenyalar els màxims i mínims locals: hi ha un màxim si la funció canvia de creixent a decreixent, i un mínim si canvia de decreixent a creixent.
6. Per trobar les coordenades (x, y) dels màxims i mínims, substitueix el valor de x (on hi ha l'extrem) a la funció original f(x). Per exemple, si x=0 és un màxim local, el màxim és a (0, f(0)). Fes el mateix per als mínims.

Estudi de la Segona Derivada

1. Calcular la segona derivada (f''(x)).
2. Trobar els valors de x on f''(x) = 0 o no existeix. Aquests són els possibles punts d'inflexió.
3. Crear una taula d'intervals utilitzant aquests valors i ±∞.
4. Substituir valors de prova dins de cada interval a la segona derivada f''(x):
   • Si f''(x) > 0 (+), la funció és còncava (forma de U).
   • Si f''(x) < 0 (-), la funció és convexa (forma de n).
5. Si la curvatura canvia (de còncava a convexa o viceversa) en un punt on f''(x)=0, aquest punt és un punt d'inflexió. Si no canvia, no ho és.

Recorda la regla del quocient per derivar:

(f/g)' = (f'·g - f·g') / g²

Asímptotes de Funcions

Tipus i Càlcul d'Asímptotes

1. Asímptota Vertical (AV):
   • Existeix en punts x=a on la funció no està definida (fora del domini), típicament on el denominador és zero.
   • Si el domini són tots els reals (ℝ), no hi ha AV.
   • Per trobar-la, calcula lim (x→a) f(x). Si el límit és ±∞, hi ha una AV a x = a.
   • Pot haver-hi múltiples AV si hi ha múltiples punts fora del domini.
2. Asímptota Horitzontal (AH):
   • Existeix si el límit de la funció quan x tendeix a ±∞ és un nombre finit.
   • Per trobar-la, calcula lim (x→±∞) f(x). Si el límit és un nombre 'a', hi ha una AH a y = a.
   • Si el grau del numerador és més gran que el del denominador, no hi ha AH.
3. Asímptota Obliqua (AO):
   • Existeix si no hi ha AH i el grau del numerador és exactament 1 unitat més gran que el del denominador.
   • Té la forma y = mx + n.
   • Per calcular m: m = lim (x→±∞) [f(x) / x]. El límit ha de ser un nombre finit i diferent de zero.
   • Per calcular n: n = lim (x→±∞) [f(x) - mx]. El límit ha de ser un nombre finit.

Definicions Formals amb Límits

• Asímptota Vertical (AV): lim (x→a) f(x) = ±∞
• Asímptota Horitzontal (AH): lim (x→±∞) f(x) = a (on 'a' és un nombre finit)
• Asímptota Obliqua (AO): y = mx + n, on:
  • m = lim (x→±∞) [f(x) / x] (m ∈ ℝ, m ≠ 0)
  • n = lim (x→±∞) [f(x) - mx] (n ∈ ℝ)

Sistemes d'Equacions Lineals

Classificació amb Paràmetres (m)

1. Calcular el determinant de la matriu de coeficients A (|A|).
2. Igualar |A| a zero i resoldre l'equació per trobar els valors crítics del paràmetre m.
3. Per a cada valor crític de m, substituir m a la matriu A i a la matriu ampliada A* i calcular els seus rangs (rang(A) i rang(A*)).
4. Si m no és cap dels valors crítics trobats, llavors |A| ≠ 0. En aquest cas, rang(A) = rang(A*) = nombre d'incògnites, i el sistema és Compatible Determinat (SCD).

Recorda com calcular el rang:

• El rang d'una matriu és la dimensió del submatriu quadrada més gran amb determinant no nul.
• Si el determinant de la matriu 3x3 és 0, el rang és menor que 3. Busca un menor 2x2 amb determinant ≠ 0 per confirmar rang 2.

Resolució de Sistemes

1. Si el sistema és SCD (m no és un valor crític):
   • Es pot resoldre utilitzant la Regla de Cramer: x = |Ax|/|A|, y = |Ay|/|A|, z = |Az|/|A|, etc.
   • La solució és un punt únic (x, y, z).
2. Si el sistema és Compatible Indeterminat (SCI) (rang(A) = rang(A*) < nombre d'incògnites per un valor crític de m):
   • Tria un submatriu de rang màxim (p. ex., 2x2 si el rang és 2).
   • Elimina les equacions i incògnites sobrants.
   • Passa les incògnites 'lliures' (les que no estan en el submatriu triat) a l'altre costat de la igualtat com a paràmetres (p. ex., z = λ).
   • Resol el sistema resultant (p. ex., 2x2) en funció del paràmetre λ.
   • La solució general serà de la forma (x(λ), y(λ), λ).

Nota sobre el cas Incompatible (SI):

• Si per un valor crític de m, rang(A) ≠ rang(A*), el sistema és Incompatible (SI) i no té solució. Això passa si |A|=0 però |A*|≠0.
• Si |A|=0 i |A*|=0, cal comparar els rangs de A i A* per distingir entre SCI i SI.