Struktura i karakteristike nelinearnih sistema: Ključni koncepti i modeli

1.1 STRUKTURNA BLOK-ŠEMA NELINEARNIH SAU Postoje dve klase nelinearnih sistema: Sistemi s jednim ili dva nelinearna elementa, čiji su izlazi eksplicitna ili implicitna funkcija ulaznog ili izlaznog signala i njihovih diferencijala (svode se na osnovnu strukturu koja pored detektora greške sadrži još samo nelinearni - NE i linearni - LE element). Sistemi sa proizvoljnim brojem nelinearnih elemenata, čiji izlazi zavise od različitih promenljivih sistema, povezanih linearnim ili nelinearnim diferencijalnim jednačinama (to su sistemi sa logičkim elementima). (slika). Bilo koji nelinearni SAU s jednom nelinearnom se uvek može svesti na osnovnu strukturu s jednim nelinearnim i jednim linearnim elementom, obuhvaćeni povratnom spregom. 2.1 TIPIČNE NELINEARNOSTI, NJIHOVE KARAKTERISTIKE I MATEMATIČKI MODELI Postoje prirodne i veštačke nelinearnosti. Prirodne su one koje su neminovno prisutne u osnovnim elementima sistema (objektima regulacije, izvršnim organima, mernim elementima, pojačavačima). Slike a) i b) Prirodne statičke karakteristike pojačavača i motora, respektivno. Veštačke nelinearnosti se namerno unose radi postizanja željenih karakteristika sistema kao što su ekonomičnost, brzina reagovanja, pouzdanost... One se najčešće pridodaju upravljačkom sistemu tj. regulatoru. (sl a,b,c). Slika pokazuje veštačku statičku karakteristiku bimetalnog relea. Nelinearne karakteristike delimo i na jednoznačne i višeznačne. Jednoznačne za jedan ulazni signal imaju uvek tačno definisan, jedinstveni izlazni signal. Višeznačne imaju izlazni signal koji zavisi od znaka promene ulaznog signala. Tipične jednoznačne (d). Tipične višeznačne (e). Funkcionalna zavisnost Jednoznačnih nelinearnosti u=F(e) Višeznačnih nelinearnosti u=F(e, e.) Matematički model nelinearnosti tipa zasićenja:(g) Matematički model nelinearnosti tipa idealnog releja:(f). Matematički model nelinearnosti tipa dvopozicionog releja:(h),Matematički model nelinearnosti tipa tropozicionog releja:(i). 3 LINEARIZACIJA NELINEARNIH ELEMENATA (STATIČKA, DINAMIČKA I HARMONIJSKA LINEARIZACIJA) Ako je koeficijent linearizacije k, tada se statička karakteristika nelinearnog elementa zamenjuje relacijom u u okolini radne tačke. Statička linearizacija predstavlja zamenu izlaza nelinearnog elementa njegovom vrednošću u radnoj tački. Koeficijent statičke linearizacije , u slučaju da radna tačka nije fiksirana, koeficijent linearizacije je , odatle sledi . Diferencijalna linearizacija predstavlja diferencijal nelinearne funkcije po ulaznom signalu. Koeficijent diferencijalne linearizacije je . Dok je za fiksiranu tačku . Harmonijska linearizacija predstavlja linearizaciju nelinearnih elemenata sa suštinski nelinearnom karakteristikom. Definiše se na dva načina: Preko minimuma srednjekvadratne greške aproksimacije, Preko Furijeove harmonijske analize , , , gde su N1 i N2 koeficijenti harmonijske linearizacije. 4.1 POJAM FAZNIH TRAJEKTORIJA, FAZNE RAVNI, FAZNOG PORTRETA I OSOBINE FAZNIH TRAJEKTORIJA

Ova metoda spada u grupu tačnih metoda, ali je efikasna samo za sisteme drugog reda i tačnost je ograničena. Metoda daje jasnu geometrijsku predstavu o karakteru kretanja sistema i tipu ravnotežnog stanja. Neke klase nelinearnih sistema su razvijene preko pojma faznog prostora. Fazna ravan je ravan s pravouglim Dekartovim koordinatnim sistemom, mada u opštem slučaju može biti uveden i drugi tip koordinatnog sistema. Na apcisnu osu se nanosi analizirana promenljiva stanja, a na ordinatu diferencijal posmatrane promenljive, tj. brzina njene promene u vremenu. Metoda fazne ravni se koristi za analizu autonomnih sistema ili za sisteme tipa regulatora koji se jednostavnom transformacijom svode na autonomni sistem. Stanje autonomnog sistema opisanog diferencijalnom jednačinom drugog reda u svakom vremenskom trenutku je određeno tačkom u ravni, čije su koordinate x i x’, i naziva se fazna tačka u posmatranoj faznoj ravni. Pri kretanju sistema fazna tačka će se pomerati po faznoj trajektori, duž koje se vreme javlja kao parametar. Skup faznih trajektorija sistema za različite početne uslove naziva se fazni portret sistema. sl(a), Kretanje po faznim trajektorijama odvija se u smeru kretanja kazaljke na satu, a fazne trajektorije seku x1-osu pod pravim uglom x=x1, x’=x1’=x2 slika pokazuje orijentaciju faznih trajektorija (b) Slika pokazuje blok-šemu običnog nelinearnog sistema x’’(t)+F2(x’)+F1(x)=0; x1’=x2; x2’=-F1(x1)-F2(x2) pa je Može da se desi i da je dx2/dx1 neodređen, tj. da je 0/0 ako su F i x2 = 0, tada imamo singularne tačke i samo u njima fazne trajektorije nemaju definisan pravac. 5.1 FAZNI PORTRETI LINEARNIH SISTEMA Sistemi sa suštinskim nelinearnostima mogu se posmatrati kao linearni u određenim delovima, a fazni portret celog sistema se dobija „ušećivanjem“ faznih portreta tih linearnih delova. Postoje šest osnovnih i dva posebna slučaja. Osnovni slučajevi se definišu na osnovu korena karakteristične jednačine sistema drugog reda i to su slučajevi kada su koreni: 1. Imaginarni, 2. Konjugovano-kompleksni s negativnim Re delom, 3. Konjugovano-kompleksni s pozitivnim Re delom, 4. Realni i pozitivni 5. Realni i negativni, 6. Realni i različitog znaka (sl). 6.1 SINGULARNE FAZNE TRAJEKTORIJE U nelinearnim sistemima osim singularnih tačaka i singularnih pravih, mogu se pojaviti i singularne trajektorije kao izolovane zatvorene krive koje se nazivaju granični krugovi. Granični krugovi mogu biti stabilni (a), nestabilni (b) i semi-stabilni (c), zavisno od toga kako su orijentisane trajektorije. 7. METODA HARMONIJSKE LINEARIZACIJE. OPISNA FUNKCIJA Ona spada u veštačke nelinearnosti. Koriste se dvopozicioni i tropozicioni regulatori sa ili bez histerezisa, jer imaju široku primenu u regulaciji, a njihova osnovna osobina je suštinski nelinearna karakteristika. U sistemima sa takvom karakteristikom nije moguće promeniti metodu diferencijalne linearizacije. Relejni regulatori pokazali su da je njihov normalni stacionarni režim rada zapravo dinamički režim u kojem se javljaju samooscilacije, gde je za nas važno odrediti amplitudu i frekvenciju tih oscilacija. Amplituda definiše zonu odstupanja regulisane promenljive od srednje vrednosti tj. tačnost. Frekvencija je birna za životni vek regulatora. Ako se sistem posmatra kao oscilator, i u njemu se javljaju stabilne oscilacije, on se tada nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti i može se primeniti Nikvistov ili Mihajlovljev uslov oscilovanja sistema. Ipak, sistem nije linearan, već se svodi na osnovnu strukturu, linearni deo plus nelinearni deo i potrebno je izvršiti linearizaciju sistema. To radimo primenom hipoteze niskopropusnog filtra, jer linearni deo ima tu osobinu. ; Uvodimo ograničenja: Nelinearne funkcije su simetrične u odnosu na x-osu; Karakteristika nelinearnosti je simetrična u odnosu na koord. Početak u x0u-ravni. To znači da je jednosmerna komponenta izlaznog signala nelinearnog elementa jednaka 0 i da je F(-x)=-F(x). Dalje imamo: ; ; ; Primenom Laplasove transformacije ovde, dobijamo opisnu funkciju: Za koeficijente harmonijske linearizacije imamo:  

8. KRITERIJUM MIHAJLOVA ZA UTVRĐIVANJE SAMOOSCILACIJA Sistemi s negativnom povratnom spregom će se naći na oscilatornoj granici stabilnosti ako hodograf Mihajlova prolazi kroz koordinatni početak D(jω)-ravni. Zamenom s sa jω u karakterističnom polinomu D(s), rastavljanjem Re i Im dela i njihovim simultanim izjednačavanjem sa nulom, dobija se sistem od dve algebarske jednačine na osnovu kojih se mogu odrediti frekvencija i amplituda samooscilacija. ; ; ; ; ; ;

Ako u sistemu postoje samooscilacije, sistem jednačina će imati realna rešenja po Ω i A, ali to još ne znači da će u sistemu postojati takve stabilne oscilacije. Od više rešenja treba izabrati samo ona koja su stabilna. Nestabilna rešenja ukazuju da sistem privremeno ulazi u nestabilni granični krug, dok stabilna predstavljaju stabilan granični krug u nelinearnom sistemu. Predpostavimo da hodograf Mihajlova prolazi kroz koordinatni početak D(jω)-ravni i da je došlo do male perturbacije amplitude za ±δA. Ako se sa povećanjem (ili smanjenjem) amplitude kriva Mihajlova pomera u pravcu nestabilnosti (ili stabilnosti), onda dobijena rešenja nisu stabilna. Uslov stabilnosti se analitički definiše kao: . 9.2 KRITERIJUM NIKVISTA ZA UTVRĐIVANJE SAMOOSCILACIJA Sistem je po Nikvistu na oscilatornoj granici stabilnosti, ako Nikvistova kriva prolazi kroz kritičnu tačku (-1, j0). Nikvistova kriva je amplitudno-fazno-frekvencijska karakteristika sistema bez povratne sprege. ; pa sledi

Presek posmatranih karakteristika posmatraćemo kao kritičnu tačku u smislu Nikvistovog kriterijuma, a amplitudno-frekvencijsku karakteristiku linearnog dela sistema kao Nikvistovu krivu, i uvešćemo perturbaciju amplitude oscilacije na karakteristici nelinearnog elementa za ±δA. Ako se sa povećanjem (ili smanjenjem) amplitude kritična tačka izmešta van (ili unutar) Nikvistove krive, uz stabilnost linearnog dela sistema, tada je presečna tačka zapravo tačka stabilnih oscilacija, u suprotnom, oscilacije su nestabilne i mogu se pojaviti samo u prelaznim režimima sl(a). 10. HIPOTEZE AJZERMANA I KALMANA Hipoteza Ajzermana: Ako se statički koeficijent linearizacije nelinearnog elementa nalazi u opsegu [0,K] i za te vrednosti pojačanja je linearizovani sistem stabilan, tada je i polazni nelinearni sistem stabilan. Hipoteza Kalmana: Ako se dinamički koeficijent, dobijen diferencijalnom linearizacijom nelinearnog elementa, nalazi u opsegu [0,K] i za te vrednosti pojačanja je linearizovani sistem stabilan, tada je i polazni sistem stabilan. 11.2 DEFINICIJA STABILNOSTI PO LJAPUNOVU Definicija stabilnosti: Neka je x=x0 početno stanje sistema u trenutku t=t0. Stanje ravnoteže je stabilno ako za bilo koje ε>0 postoji δ>0, zavisno samo od ε, i pri tome iz uslova ||x0-x||t0. (kriva 1). Definicija asimptotske stabilnosti: Stanje sistema je asimptotski stabilno ako je ono samo stabilno i ako postoji δa>0 takvo da svako kretanje koje polazi iz δa-okoline ravnotežnog stanja teži stanju ravnoteže xe kada t teži beskonačnosti. (kriva 2) znamo da je sistem od dva redno vezana čista integratora obuhvaćena negativnom povratnom spregom stabilan u smislu Ljapunova, kao i da je nulto stanje ravnoteže sistema opisanog Van der Polovom jednačinom nestabilno u smislu Ljapunova. U savremenoj teoriji stabilnosti postoje i druge definicije kao što su orbitalna stabilnost (npr. Van der Polov oscilator ima ovu osobinu), globalna stabilnost i globalna asimptotska stabilnost (one obuhvataju ceo prostor stanja, ne samo malo odstupanja od položaja ravnoteže). Ipak, nelinearni sistemi mogu imati mnogo stanja ravnoteže, upitno je ukazati u odnosu na koje od tih stanja se odnosi stabilnost tj. nestabilnost. 12.2 PRVA (INDIREKTNA) METODA LJAPUNOVA Ovo je teorema koja definiše uslove čije ispunjenje omogućava da se na osnovu linearizacije može vršiti ocena stabilnosti nelinearnog sistema u okolini stanja ravnoteže. Ukoliko je ulazni signal konstantan, sistem možemo posmatrati kao autonomni, međutim, ako zavisi od vremena onda nije moguće uvesti sledeću transformaciju x (tačka)=f(x,u) x(tac)=f(x,u=u0) u0=const. x(tac.)=f(x,u0)=0, x(tac.)=Ax+Bu=>x=-Ana-1Bu0; Teorema: Neka je autonomni sistem x’=f(x)) jednačina poremećenog stanja ravnoteže xe čiji je oblik (a) pri čemu je (matrica). Ako jednačina linearizovanog sistema oblika (f-la) 1) ima sve leve sopstvene vrednosti, tada je posmatrano stanje ravnoteže asimptotski stabilno. 2) ima makar i jednu desnu sopstvenu vrednost, tada je posmatrano stanje nestabilno. 3) postoje neke sopstvene vrednosti na imaginarnoj osi, a sve ostale su leve, tada se o stabilnosti sistema u okolini stanja ravnoteže ne može suditi na osnovu linearizacije, već je potrebno primeniti druge metode. 13.2 DRUGA (DIREKTNA) METODA LJAPUNOVA Posmatramo mehanički sistem koji je izveden iz ravnotežnog stanja delovanjem neke sile, koja je sistemu predala neku količinu energije. Kretanje se odvija pod dejstvom unutrašnje energije (potencijalne i kinetičke) E>0 i E (tac)E->0 Za sistem opisan modelom x (tac)=f(x) možemo odrediti funkciju njegovih koordinata kao ekvivalent unutrašnjoj energiji, a ona će zapravo biti pozitivno definitna funkcija Ljapunova V(x). V(x)>0 za svako x=/=0, V(x)=0 za x=0; i ako je izvod V(x), duž trajektorija kretanja sistema negativno semidefinitna funkcija,(funkcija) tada kažemo da je sistem stabilan u smislu Ljapunova i njegovo kretanje će uvek ostajati u ε-okolini ravnotežnog stanja. Tada se funkcija V(x) naziva funkcijom Ljapunova. Ukoliko je izvod funkcije Ljapunova strogo negativno definitna funkcija, tada je ravnotežno stanje, u posmatranoj δ-okolini, asimptotski stabilno. Ukoliko sve ovo važi za ceo prostor stanja, i važi: f-la tada se za sistem kaže da je globalno stabilan. 14.2 LURJEOV PROBLEM Problem je bio utvrđivanje stabilnosti nelinearnih sau sa statičkom nelinearnošću, za sistem sa stabilnim linearnim delom ili sa linearnim delom na aperiodičnoj granici stabilnosti. Potrebno je linearni deo sistema, primenom paralelnog programiranja, svesti na kanonički dijagonalni oblik. Na osnovu sopstvenih vrednosti matrice stanja linearnog dela sistema, funkcija Ljapunova se bira u obliku kvadratne forme promenljivih stanja sistema plus integral nelinearne funkcije. Lujre je posmatrao osnovni i poseban slučaj. Za autonomni sistem (r=0) poseban slučaj može se svesti na osnovni, i obrnuto. slika (a)