Tècniques de Geometria Descriptiva: Construcció de Sòlids i Girs

Mètodes de Construcció de Sòlids en Geometria Dièdrica

Piràmide

Per a la construcció de la piràmide, utilitzem el pla alfa perpendicular a l'eix AX per V.

• Trobem I1 i I2 (intersecció del pla i la recta, a +0,5 cm de 0, 0, 0).
• Unim A i I. B estarà al doble de la distància d'A a I.
• Abatem alfa, I i V.
• Trobem la Magnitud Veritable (MV) d'AB.
• Fem una perpendicular a la recta IV per I. Aquí posem 1/2 de la MV d'AB a una banda i a l'altra per trobar (C) i (D).
• Per intersecció, baixem els punts de dalt i traiem els punts d'intersecció.

Ombra de la Recta

Des de J, a 45º, projectem l'ombra. Ho fem de dalt a baix i de baix a dalt.

Cilindre (Mètode Civil)

1. Definim el pla alfa i l'abatem.
2. Marquem 3 cm a les dues traces abatudes, traient (0).
3. Desabatem (0), sense utilitzar afinitat.
4. Per 01 i 02, tracem una recta perpendicular a alfa.
5. Ens inventem un punt P en aquesta recta i fem talls per posar la Magnitud Veritable (7 cm), així trobem 0'1 i 0'2.
6. Els eixos llargs fan 3 cm i són paral·lels a les traces del pla.
7. Eixos petits: un a partir del punt tangent a la traça horitzontal i l'altre perpendicular a la traça vertical abatuda.

Plans Tangents

Per N, tracem una paral·lela a l'eix del cilindre (recta r). Intersecció del pla alfa amb la recta r, traiem I1 i I2. Com que aquests punts estan dins del cilindre, no hi ha plans tangents.

Cub (Mètode Civil)

1. Trobem la Magnitud Veritable (MV) de BC. El punt mig és 0 de la recta BC.
2. Definim el pla alfa perpendicular a BC per 0.
3. Abatem el pla alfa i 0.
4. Trobem (r) on està (D): baixem on ha d'estar D i on talla amb la traça horitzontal, unim amb la línia que va d'on està D des de la línia de terra (LT) perpendicular a la traça horitzontal quan s'uneix amb la traça vertical abatuda.
5. Amb radi c, on talli amb (r) trobem (D).
6. Des de (D) amb radi a i des de (0) amb radi b traiem (A).
7. Desabatem A i D.
8. Unim A amb B, C i D i construïm la figura.

Intersecció Recta amb Cub

És fàcil. Per fer el càlcul dels radis:

• Vertical de la MV de BC.
• Des de l'extrem de baix, 45 graus.
• Amb centre a l'extrem de baix, fem una circumferència fins a l'extrem de dalt.
• On talla la línia de 45 graus, pugem cap a dalt i trobem a l'horitzontal el radi a.
• Unim amb el punt mig vertical i tenim en aquesta línia el radi c.
• El radi b és la meitat de la MV de BC.

Cilindre (Mètode de Construcció)

1. Unim la Línia de Terra (LT) amb A al perfil. Per Ap, tracem una recta perpendicular, allarguem fins que tallin i desabatem els punts que són centres de les el·lipses. Fem generatrius a 3 cm a cada costat de l'eix, allarguem i desabatem. L'eix petit és de 3 cm; l'eix gran el sabem segons els punts desabatuts.
2. Posem B1 i B2, passem al perfil paral·lel a la LT fins a la recta baixa de (Ap). Per aquest punt de (Bp), paral·lel a l'eix fins que talla els eixos grans, trobant Vb i Hb. Baixem Hb i també fem la projecció de perfil per tornar a la recta 0 i després a l'horitzontal. On creua amb la que baixava, hi ha V1. Des de Vb cap a la dreta trobem V2. Per V1 i V2, fem tangents a les el·lipses i trobem els dos plans alfa i beta.
3. Recta PA: traiem les traces H2 i H1. Per (Ap), paral·lel a l'eix, i on talla ho desabatem i coincideix amb el centre de baix. Unim els dos H1 i pels punts on talla l'el·lipse, tracem rectes verticals cap a dalt. On tallin en PA, són les interseccions.

Construcció Bàsica: Magnitud Veritable d'un Segment

1. Per A, tracem una perpendicular a alfa.
2. Per (0, 0, 0), ens inventem un pla de perfil que ens permet abatre alfa.
3. Per (0, 0, 0), perpendicular a (alfa), traiem (0).
4. Desabatem 0 (paral·lel a la LT fins que talla la perpendicular d'A amb alfa, trobem 02 i baixem i trobem 01).
5. Abatem 0 respecte a alfa (abatiment per afinitat).
6. Trobem la Magnitud Veritable (MV) d'A0 i fem aquesta construcció auxiliar: horitzontal de la MV d'A0 des de l'extrem esquerre a 30 graus. La vertical de la dreta serà el radi.
7. Amb centre (0), fem una circumferència amb aquest radi.
8. Des del vèrtex d'alfa, que li podem dir J, fem tangents a la circumferència (rectes r i s).
9. Desabatem les rectes r i s agafant punts tangents.
10. Els plans passen per la LT (Beta i Gamma).

Mètodes de Girs i Canvis de Pla

Girs (Mètode 1)

Primer Gir (Pla Horitzontal)

1. Recta A2B2. Des de C2, fem una circumferència tangent a la recta.
2. Recta horitzontal tangent a la circumferència.
3. Amb radi A2C2, on talla amb la recta horitzontal traiem A'2. A'1 està baixant on creui amb l'horitzontal respecte a A1.
4. Amb radi B2C2, on talli amb la recta horitzontal, trobem B'2. B'1 està baixant on creui amb l'horitzontal respecte a B1.

Segon Gir (Pla Vertical)

1. Recta A'1B'1. Des de C1, fem una tangent a la recta.
2. Recta vertical tangent a la circumferència.
3. Amb radi C1A'1, on talla amb la recta vertical, trobem A''1 (queda a dalt).
4. Amb radi C1B'1, on talla amb la recta vertical, trobem B''1.
5. A''2 i B''2 estan en un punt on creuen les rectes verticals i horitzontals.

Girs (Mètode 2: Canvi de Pla)

1. Per (0, 0, 0), tracem una paral·lela a A1B1, que serà la nova Línia de Terra (LT).
2. Pels punts B1, C1, D1 i A1, tracem perpendiculars a la nova LT i posem les cotes, així traiem A'2, B'2, etc.
3. Unim aquests nous A'2 amb B'2 i C'2 amb D'2.
4. Per (0, 0, 0), tracem una perpendicular a A'2B'2 i tenim una nova Línia de Terra.
5. Per A'2, tracem perpendiculars a la nova LT. Posem els allunyaments de la primera LT que hem inventat i així traiem A'', etc.
6. Unim C'' i D''.
7. Trobem la Magnitud Veritable (MV) de la distància mínima d'A''B'' (que coincideixen) a D''C''.
8. Anomenem a cada extrem F'' (que coincideix amb A'' i B'') i E'' l'altre.
9. Per E'', tracem una perpendicular a l'última Línia de Terra que hem inventat, i on talla amb C'2 i D'2 tenim E'.
10. Després, perpendicular a A'2B'2 i tenim F'.
11. Per E' i F', tracem una perpendicular a la primera LT que ens hem inventat: F' fins a A1B1 i E' fins a C1D1. Així traiem E1 i F1.

Construcció de Tetraedres

Tetraedre (Mètode de Construcció)

1. Abatem A i B al perfil. El punt mig d'AB és (M).
2. Fent una perpendicular a AB per aquest punt, traiem el pla alfa. Desabatem M sobre la recta de perfil.
3. L'allunyament de 4 cm: on talla amb el pla de perfil, passem el punt a (alfa) i seria (Cp). A l'horitzontal tenim i2 i a la de 4 cm tenim i1.
4. Abatem i (no al perfil) punxant en alfa 1, tipus afinitat.
5. Amb construcció auxiliar, posant la MV d'AB en tres arestes, traiem l'altura de la cara.
6. Des del punt mig (Mp), en direcció al pla (alfa), posem l'altura de la cara i trobem s. Desabatem i trobem s2 i s1.
7. Des de M abatut (tipus afinitat, no al perfil), amb radi igual a l'altura de la cara, on talli amb s1 tenim (D). D1 i D2 ho traiem pujant fins a s2.
8. Des de D1 o (D), amb radi igual a l'aresta, on talli amb (i) trobem (C).
9. Desabatem (C) fent una vertical, i on talli amb i1 i i2 tenim c1 i c2.
10. Ja tenim tots els punts i fem el tetraedre. Fem la intersecció amb el primer bisector.

Tetraedre (Mètode Civil)

1. Formem el pla alfa, posant una vertical qualsevol, posem l'angle horitzontal i fem una circumferència.
2. Circumferència tangent a aquesta. Posem l'angle vertical i fem una circumferència.
3. Des del punt de dalt, vertical tangent a l'última circumferència, i des d'aquí, tangent fins al punt que tenim a baix que ha sortit abans.
4. Recta perpendicular per V al pla. Intersecció de la recta i el pla alfa, traiem el centre I.
5. Abatem I per afinitat.
6. Calculem l'aresta: posem un triangle equilàter qualsevol. Després posem a l'esquerra aquesta aresta petita, a baix h i a la dreta h. Allarguem la vertical fins a la MV d'IV. Fem una paral·lela a la línia esquerra i ja tenim l'aresta. Calculem el triangle equilàter i, fent altures, el radi és del centre a dalt.
7. A (I) posem el radi trobat. Des de (I), perpendicular a H alfa, i on talli amb la circumferència és (A). Llavors anem tallant sobre la circumferència i trobem (B) i (C), que formen el triangle.
8. Desabatem (A, B, C) i fem el tetraedre.

Ombres

SV1 fem Sa1 (triangle tallant alfa amb arestes), traiem Sb1, Sb2 i Sc2, i després Sc1 Sc2 fins que talla les línies discontínues i el triangle tallant alfa amb les arestes.