Teorema de Prolongació i Solucions Epsilon-Aproximades d'EDOs

Teorema De prolongació́n. Consi a ED x’=f(t,x), con F:(t,x)∈A⊂R×Rn→f(t,x)∈Rn, onde A é aberto, f é continua En A e f∈Lloc(A,x). Se φ:(a,b)→Rn é unha sol da ED, entón: (i) φ é prol a través de b se e só se existe lı́m(t→b−)φ(t)=p E (b,p)∈A. (ii) φ é prol a través   de a se e só se existe Lı́m(t→a+)φ(t)=q e (a,q)∈A. DEM“⇒” Sup Que φ é prol a través de b, entón existe φ2:(a,c)→Rn sol de X’=f(t,x) que é prol(propia) de φ, é dicir, b∈(a,c) e φ2(t)=φ(t)∀t∈(a,b). Ademais, como φ2 é sol, é continua, en Particular pola esquerda en t=b, logo φ2(b)=lı́m(t→b−)φ2(t)=lı́m(t→b−)φ(t). Isto implica que Lı́m(t→b−)φ(t) existe e vale φ2(b). Ademais, (b,φ2(b))∈A, Por ser φ2 sol da ED. “⇐” Sup que existe lı́m(t→b−)φ(t)=p E (b,p)∈A. Sexa r>0/B=B((b,p),r)⊂A entorno cumpre que f está Acotada en B e f∈LK(B,x). Elix δ de modo que 0<δ<mı́n{r/2,r/2H,1/k}, sendo H cota para f en B.Como Lı́m(t→b−)   φ(t)=p, existe unha sucde instantes {tm}→b−/{φ(tm)}→p. Selec m0∈N/|tm0−b|= b−tm0< δ e (tm0,φ(tm0))∈B((b,p),r/2). Aplic o Th de P-L en B para a cond Inicial (tm0,xm0) = (tm0,φ(tm0)), existe unha sol φm0 pasando por (tm0,φ(tm0)) definida no intervalo [tm0−δ,tm0+δ]. Defi a Funció́n ψ:t∈(a,tm0+δ]→ψ(t) ={φ(t),t∈(a, b); φm0(t),t∈[b,tm0+δ]. Esta funció́n ψ é sol de x’=f(t,x) e é Unha prol de φ a través de b, pois b<tm0+δ.

Existencia De solución: Dada a ED(1), sup que f é continua e sexa π:I⊂R→Rn (onde I é un intervalo) unha sol ε-aprox para (1). Se t0∈I, Entón || π(t)−π(t0)−int((t-t0)(f(s,π(s))ds)≤ε|t−t0|,∀t∈I. DEM: Por Ser π sol ε-aprox, π é de clase C1 en I excepto nos puntós P1<p2<···<pk (conx finito de puntós). Sexa Ji o interv de Extremós pi e pi+1(pechado se os seus extremós están en I). Sexa T∈I fixado. Distinguimos dous casos: a)t0,t∈Ji, para algú́n I∈{0,1,...,k}: Sup, por ex, que t0<t. Cons a funció́n g Definida mediante g:u∈[t0,t]→g(u)=π(u)−int((t-t0)(f(s,π(s))ds). A funció́n g é continua en [t0,t] e derivable en (t0,t). Polo Th De Incrementos Finitos, ||g(t)−g(t0)||≤sup||g’(u)|| |t−t0|=sup||π ‘(u)−f(u,π(u))|| |t−t0|≤ε|t−t0|,(sup de U∈(t0,t)) o que proba que || π(t)−π(t0)−int((t-t0)(f(s,π(s))ds)≤ε|t−t0|. B)t0∈Ji,t∈Jr ,con i=/r: Sup que os ı́ndices i e r son consecutivos, de   xeito que R=i+1. De non selo, a dem serı́a similar.