Teorema de Tales i aplicacions

Dos segments a i b són proporcionals a uns altres dos segments c i d si formen una proporció. Això es pot expressar d'aquesta manera:

a / c = b / d = k

k és la constant de proporcionalitat.

El teorema de Tales diu que si tallem dues rectes secants per diverses rectes paral·leles, els segments determinats en una de les rectes són proporcionals als corresponents segments de l'altra.

Dividir un segment en parts proporcionals

Per dividir un segment en parts proporcionals, hem de seguir aquests passos:

1. Tracem un segment a i una semirecta t amb origen en un dels extrems.
2. Col·loquem al damunt de t, i començant per l'origen, els segments b, c i d als quals han de ser proporcionals les parts en què dividirem a.
3. Tracem una recta r que passi per l'extrem lliure de a i l'extrem lliure de d.
4. Tracem rectes paral·leles a r que passin pels extrems de b i c.
5. Comprovem que les parts en què ha quedat dividit a siguin proporcionals a b, c i d.

Dividir un segment en parts iguals

Per dividir un segment en parts iguals, hem de seguir aquests passos:

1. Tracem un segment a i una semirecta t amb origen en un dels extrems.
2. Col·loquem al damunt de t, i començant per l'origen, tants segments iguals com parts vulguem dividir.
3. Tracem una recta r que passi per l'extrem lliure de a i l'extrem lliure de l'últim segment que hem traçat sobre t.
4. Tracem rectes paral·leles a r que passin pels extrems dels segments que hem traçat al damunt de t.
5. Comprovem que les parts en què ha quedat dividit a siguin iguals.

El segment quart proporcional a tres segments a, b i c és un segment x que permet construir la proporció:

a / b = c / x

El segment tercer proporcional a dos segments a i b és un segment x que permet construir la proporció:

a / b = b / x

Els triangles en posició de Tales tenen un angle en comú i els costats oposats a aquest angle són paral·lels.

Teorema de Pitàgores

El teorema de Pitàgores diu que, en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa a és igual a la suma dels quadrats dels catets b i c.

a² = b² + c²

Una terna pitagòrica són tres nombres naturals que verifiquen el teorema de Pitàgores.