Teoremes de Tales, Pitàgores, Altura i Catet

1. Teorema de Tales per a triangles

El Teorema de Tales és aplicable als polígons, si bé nosaltres, en aquest tema, l'usarem només per a triangles. El Teorema de Tales aplicat als triangles diu que tota recta paral·lela a un costat d'un triangle divideix el triangle en parts proporcionals. És a dir, que obtenim tants triangles semblants com rectes paral·leles a un costat del triangle tracem.

El Teorema de Tales només és vàlid per a triangles que siguin semblants. Suposem un triangle ABC; si tracem un segment MN, obtindrem un triangle MNC semblant a ABC; si tracem un segment PQ, obtindrem un triangle PQC semblant a ABC.

Per tant, dos triangles seran semblants si es compleix alguna d'aquestes premisses:

• Els triangles tenen els costats proporcionals.
• Els triangles tenen dos angles iguals (per tant, tots tres angles seran iguals).
• Els triangles tenen un angle igual i els costats que el formen són proporcionals.

El Teorema de Tales s'expressa matemàticament així: a/a' = b/b' = c/c'. Els angles A, B, C són iguals, respectivament, als angles A', B', C'.

2. Teorema de Pitàgores

És un teorema només vàlid per a triangles rectangles, que són aquells que estan formats per dos catets (costats que formen l'angle recte, de 90º) i la hipotenusa (que és el costat que no forma l'angle recte, i sempre és el costat més llarg del triangle).

El Teorema de Pitàgores diu que en un triangle rectangle la suma del quadrat dels catets és sempre igual al quadrat de la hipotenusa, i el seu enunciat matemàtic és el següent:

a² + b² = c²

3. Teorema de l'altura i teorema del catet

Són dos teoremes vàlids únicament per a triangles rectangles. Donat un triangle rectangle, l'expressió matemàtica d'aquests dos teoremes és la següent:

• Teorema de l'altura: h² = m · n
• Teorema del catet: a² = m · c i b² = n · c

Fer les demostracions dels teoremes

4. Classificació dels triangles

* Segons els costats:

• Equilàters: tenen els 3 costats iguals.
• Isòsceles: tenen 2 costats iguals.
• Escalens: no tenen cap costat igual.

* Segons els angles:

• Acutangles: tenen tots els angles menors que 90º.
• Rectangles: tenen 1 angle de 90º.
• Obtusangles: tenen 1 angle de més de 90º.