Ecuaciones maxwell

Tema 6  Introduccion a las ecuaciones diferenciales

1.- Ec. diferenciales
           1.-Escalar Lineal:

adsadasd

• Ecuaciones en diferencias

1. Ec. Homogéneas

X_j+2-2X_j+1+3X_j=0  ----> Z²-2Z-3=0 (sacar valores de z) Z=3 y Z=-1

-solución: y_j=A(3)^j+B(-1)^j (si alguna tiene más de 1 multiplicidad: Y_j=A(3)^j+Bj(3)^j+c(-1)^j)

*nos dan: x(0)=0 y x(1)=1, sustituir valores???????

2. Ec. No homogéneas

X_j+2-2X_j+1-3X_j=j2^j   --->1º) Ec. homogénea: y_j=A(3)^j+B(-1)^j

2º) Ec. no homogénea: X_j=(A+Bj)2^j  /// X_j+1=(A+B(j+1))2^j+1  /// X_j+2=(A+B(j+2))2^j+2 

sustituir en la ecuación y sacar los valores de A y B. volver X_j=(A+Bj)2^j (sustituir) -->

y_j=(A+Bj)2^j +A(3)^j+B(-1)^j

Tema 7

• Sistemas de ecuaciones diferenciales

1.Sistema homogéneo

1) A-λI  2)/A-λI/ (sacar valores de λ)  3)Para cada  λ dar valor y sacar vector    4) soluciones:(λ=1,λ=-1-2i,λ=-1+2i) --> X₁(t)=e^1t(vector colocado en vertical), X₂(t)=e^(-1-2i)t(vector colocado en vertical), X₃(t)=e^(-1+2i)t(vector colocado en vertical).

x(t)=C₁ e^t () + C₂e^-te^-2it() + C₃+e^-te^2it() =C₁ e^t () + C₂e^-t(cos2t-isen2t)() + C₃+e^-t(cos2t +isen2t)()

2.Sistema no homogéneo

Igual que el homogéneo pero la solución de la forma:

Métodos:

• *Variación de las constantes (con la solución formamos la matriz m(t))

 m(t) c'(t)=b(t)        c'(t)=m^-1(b(t))  

*Método de los coeficientes indeterminados (solo si la matriz es 2x2)

(solución general de la homogénea + particular)

Tema 8

•  Laplace

*Ec. orden superior (homogéneas)

a) y''-y'=0 ---> λ²y-λy=0   λy(λ-1)=0  λ=0, λ=1 (soluciones reales y distintas) ---> y=c1 e^0t+c2e^1t

b)y'''-y''=0 ---> y'''->λ³y

                       y''->λ²y

                       y' ->λy

                       y -> 1y

      λ³y-λ²y=0   λ²y(λ-1)=0     λ=0 m=2, λ=1 m=1 (soluciones reales pero iguales) ---> y =c1e^0t+c2te^1t+c3e^1t

c) y'' +y =0 ---> λ²y+y=0  y(λ+1)=0  λ=+i  λ=-i (soluciones imaginarias) ---> y=c1e^0tcos(1t)+c2e^0tsen(1t)

*Ec. orden superior (no homogéneas)

sol. homogenea: y_h=c1e^0t+c2e^1t

 c1'+c2'e^t=0

e^tc2'=e^t                             c2=t, c1=-e^t --->y=c1e^0t+c2e^1t +(c1e^0t)+(c2e^t)

*Transformada de Laplace

1/x-->1     1/x²-->t    1/x³-->t²/2      w/x²+w²-->sen(wt)  x/x²+w²-->cos(wt)  1/x+α-->e^-αt   1/x-α--> e^αt           1/x²(x+1)-->descomp. fracciones simples

*Trasf. ec. diferenciales en Laplace

x''-->x²f(x)-xf(0)-f'(0)

x'-->xf(x)-f(0)

x'''-->x³f(x) -x²f(0)-xf`(0)-f''(0)

x--> f(x)

x''+x'=e^t ---> x²f(x)+xf(x)=1/x-1

(descomposición en fracciones simples y calcular la transformada de Laplace)

*Funciones a trozos

y'''+4y'=b(t)     b(t)= 1 si 0<><1,>-1 si 1<><2,>0 t>2

Observamos que b(t)=1I_(0,1)-1I_(1,2)=H₀(t)-2H₁(t)+H₂(t)           H₀=(1/x)e^-0x       H₁=(1/x)e^-x           H₂=(1/x)e^-2x

Aplicando la transformada de Laplace, x²L(I)+4L(I)=L(b)    y  L(b)=1-2^-x+e^-2x/x    obtenemos: L(I)=1-2e^-x+e^-2x/x(x²+4)

Descomponemos en fracciones simples: 1/x(x²+4)=(1/4)(1/x)-(1/4)(x/x²+4)

y así:      

de donde:

Es decir:

Observamos que I(t) es una función continua, derivable, y con segunda derivada a trozos.

Tema 9

• Introducción a los problemas de contorno

Tema 10

• Series de Fourier

(la serie de Fourier en senos a₀ y b_n )

 Tema 11

• Onda unidimensional

(tema 9) 

• Ecuación del calor

• Ecuación de Laplace