Exponentes y Radicales

Radicales

A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real. 


Definición de
Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a , un numero real.
 1) Si  , entonces 
    2) Si   , entonces  es el número real positivo b tal que  .
 3)  a)   Si  y n es non, entonces es el numero real negativo b tal que .
       b)   Si  y n es par, entonces  no es un número real. 


Si n=2 se escribe  en lugar de  y  se llama raíz cuadrada principal de o simplemente raíz cuadrada de a. El número  es la raíz cúbica de a. 



Ilustraciones:
                    

Observa que  porque  , por definición, las raíces de números reales positivos son positivas. El símbolo  se lee "más o menos".
Para completar nuestra terminología, la expresión  es un radical, el número a se llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo es el signo radical.
Si , entonces  ; esto es, .

En general se presenta la siguiente tabla de propiedades. 



Propiedades de  (n es un entero positivo).

Propiedad	Ejemplo

De esta ultima propiedad vemos que:  para todo numero real x. En particular, si  entonces sin embargo si , entonces , que es positiva.


Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.

Ley	Ejemplo

Advertencias respecto a errores comunes:
 







Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando contenga sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible.

Eliminación de factores de radicales.
Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):
a)          b)          c)      



Solución
a) 
     
b) 
     
c) 
     
Si al denominador de un cociente contiene un factor de la forma con k < n y a > 0 entonces al multiplicar numerador y denominador por eliminaremos el radical del denominador porque:  
Este proceso se llama racionalización del denominador.

Factor en el denominador	Multiplicar numerador y denominador por	Factor resultante

Ejemplos

Racionalización de denominadores
Racionaliza:

a)                  b) 


Solución 
a) 
    

b) 
     



Este proceso algebraico, en cursos avanzados puede complicar el calculo para la resolución del problema, es por ello que se recomienda analizar y seleccionar el procedimiento adecuado.





Definición de exponentes racionales

Sea m/n un numero racional, donde n es un entero positivo mayor de 1. Si a es un numero real tal que existe  , entonces
 


Nota:
Las leyes de los exponentes son ciertas para exponentes racionales e irracionales.





Simplificación de potencias racionales
Simplifica:
a)    b)  


Solución 
a) 
 
b)