Robótica

SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LAS MATRICES HOMOGENEAS
Una matriz homogénea sirve para transformar un vector expresado en coordenadas homogéneas
con respecto a un sistema OUVW, a su expresión en las coordenadas del sistema
de referencia OXYZ. También se puede utilizar para rotar y girar un vector referido a un
sistema de referencia fijo. En general sirve para expresar la orientación y posición de un
sistema de referencia OUVW con respecto a otro fijo OXYZ. La matriz T de transformación
se suele escribir de la forma:
Donde n,o,a es una terna ortonormal que representa la orientación y p es un vector que
representa la posición. La matriz inversa de la matriz homogénea de transformación T es
fácilmente obtenible y corresponde a la siguiente expresión:

COMPOSICION DE MATRICES HOMOGENEAS:
Se ha mencionado que una matriz de transformación homogénea sirve, entre otras cosas,
para representar el giro y la traslación realizados sobre un sistema de referencia. Esta utilidad
cobra aun más importancia cuando se componen las matrices homogéneas para describir
diversos giros y traslaciones consecutivos sobre un sistema de referencia determinado.
De esta forma una transformación compleja podrá descomponerse en la aplicación
consecutiva de transformaciones simples (giros básicos y traslaciones).
Se debe tener en cuenta:
Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado OUVW son coincidentes, la
matriz homogénea de transformación será la matriz 4x4 Identidad, I4.
Si el sistema OUVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con
respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación
se deberá premultiplicar sobre las matrices de transformación previas.
Si el sistema OUVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con
respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación
se deberá postmultiplicar sobre las matrices de transformación previas.
GRAFICOS DE TRANSFORMACION
El final de la herramienta puede ser referido con respecto al sistema OXYZ de dos maneras
distintas: a través del manipulador y a través del objeto. Esta relación se puede representar
mediante un grafico de transformación. Cualquier transformación puede ser obtenida
a partir del grafico. Para ello se irá desde el objeto inicial al final multiplicando las matrices
de transformación correspondiente a los arcos del grafico, y considerando que de
recorrerse estos en sentido inverso a las flechas, deberá utilizarse una matriz inversa

INTERPOLACION DE TRAYECTORIAS
Una de las funciones del control cinemático es la de unir una sucesión de puntos en el espacio
articular por el que se quiere que pasen la articulaciones del robot en un instante
determinado. Además junto con las condiciones de posición-tiempo, es conveniente añadir
restricciones en la velocidad y aceleración de paso por los puntos, de manera que se asegure
la velocidad de la trayectoria y se limiten las velocidades y aceleraciones máximas. Estas
restricciones garantizaran que los actuadores están capacitados para implementar la
trayectoria final.
INTERPOLADORES LINEALES
Supóngase que se pretende que una de las articulaciones q del robot pase sucesivamente
por los valores qi en los instante ti. Una primera solución a este problema consistiría en
mantener constante la velocidad de movimiento entre cada dos valores consecutivos (qi-1 y
qi) de la articulación.. La trayectoria entre dos puntos qi-1 y qi seria entonces:

Como es obvio esta trayectoria asegura la continuidad de la posición, pero origina saltos
bruscos en la velocidad q de la articulación, y consecuentemente precisa de aceleraciones
de valor infinito, lo que en la practica no es posible.
INTERPOLADORES CUBICOS
Para asegurar que la trayectoria que une los puntos por los que tiene que pasar la articulación
considerada presente continuidad en velocidad, puede recurrirse a utilizar un polinomio
de grado 3 que una cada pareja de puntos adyacentes. De este modo al tener 4 parámetros
disponibles se podrán imponer cuatro condiciones de contorno, dos de posición y
dos de velocidad.

INTERPOLADORES A TRAMOS
Consiste en descomponer en 3 tramos consecutivos la trayectoria que une dos puntos q0 y
q1. En el tramo central se utiliza un interpolador lineal y por lo tanto la velocidad se mantiene
constante, no siendo preciso imprimir aceleración alguna al actuador. En los tramos
inicial y final se utiliza un polinomio de segundo grado, de modo que en el tramo 1 la velocidad
varíe linealmente desde la velocidad de la trayectoria anterior a la de la presente y
el en el tramo 3 varíe desde la velocidad de la trayectoria presente hasta la de la siguiente.
Se tiene entonces que en los tramos inicial y final la aceleración toma valores constantes
distintos de cero, mientras que en el tramo intermedio la aceleración es nula.