Correlación y regresión

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Relación entre variables y regresión: El término regresión fue introducido por Galton en su libro Natural inheritance (1889) refiriéndose a la ley de la regresión universal: Cada peculiaridad en un hombre es compartida por sus descendientes, pero en media, en un grado menor, Regresión a la media. Su trabajo se centraba en la descripción de los rasgos físicos de los descendientes (una variable) a partir de los de sus padres (otra variable).

Pearson (un amigo suyo) realizó un estudio con más de 1000 registros de grupos familiares observando una relación del tipo: Altura del hijo = 85cm + 0,5 altura del padre (aprox.)Conclusión: los padres muy altos tienen tendencia a tener hijos que heredan parte de esta altura, aunque tienen tendencia a acercarse (regresar) a la media. Lo mismo puede decirse de los padres muy bajos. Hoy en día el sentido de regresión es el de predicción de una medida basándonos en el conocimiento de otra. Estudio conjunto de dos variables: A la derecha tenemos una posible manera de recoger los datos obtenido observando dos variables en varios individuos de una muestra. En cada fila tenemos los datos de un individuo. Cada columna representa los valores que toma una variable sobre los mismos. Las individuos no se muestran en ningún orden particular. Dichas observaciones pueden ser representadas en un diagrama de dispersión (scatterplot). En ellos, cada individuos es un punto cuyas coordenadas son los valores de las variables. Nuestro objetivo será intentar reconocer a partir del mismo si hay relación entre las variables, de qué tipo, y si es posible predecir el valor de una de ellas en función de la otra. Relación directa e inversa: Para valores de X por encima de la media tenemos valores de Y por encima y por debajo en proporciones similares. Incorrelación. Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y mayores también. Para los valores de X menores que la media le corresponden valores de Y menores también. Esto se llama relación directa. Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y menores. Esto es relación inversa o decreciente. ¿Cuándo es bueno un modelo de regresión?: Lo adecuado del modelo depende de la relación entre: la dispersión marginal de Y. La dispersión de Y condicionada a X. Es decir, fijando valores de X, vemos cómo se distribuye Y. La distribución de Y, para valores fijados de X, se denomina distribución condicionada. La distribución de Y, independientemente del valor de X, se denomina distribución marginal. Si la dispersión se reduce notablemente, el modelo de regresión será adecuado. Covarianza de dos variables X e Y: La covarianza entre dos variables, Sxy, nos indica si la posible relación entre dos variables es directa o inversa.Directa: Sxy >0.Inversa: Sxy <0.Incorreladas: Sxy =0. El signo de la covarianza nos dice si el aspecto de la nube de puntos es creciente o no, pero no nos dice nada sobre el grado de relación entre las variables. Coef. de correlación lineal de Pearson: La coeficiente de correlación lineal de Pearson de dos variables, r, nos indica si los puntos tienen una tendencia a disponerse alineadamente (excluyendo rectas horizontales y verticales). tiene el mismo signo que Sxy ( Covarianza) por tanto de su signo obtenemos el que la posible relación sea directa o inversa. r es útil para determinar si hay relación lineal entre dos variables, pero no servirá para otro tipo de relaciones (cuadrática, logarítmica,...) Propiedades de r: Es adimensional. Sólo toma valores entre [-1 a 1].Las variables son incorreladas (no hay relación lineal) ó r=0. Relación lineal perfecta entre dos variables ó r=+1 o r=-1.Excluimos los casos de puntos alineados horiz. o verticalmente. Cuanto más cerca esté r de +1 o -1 mejor será el grado de relación lineal. Siempre que no existan observaciones anómalas. Preguntas frecuentes: ¿Si r=0 eso quiere decir que no las variables son independientes?:En la práctica, casi siempre sí, pero no tiene por qué ser cierto en todos los casos. Lo contrario si es cierto: Independencia implica incorrelación.Me ha salido r=1,2 ¿la relación es superlineal[sic]? ¿Superqué? Eso es un error de cálculo. Siempre debe tomar un valor entre -1 y +1.¿A partir de qué valores se considera que hay buena relación lineal? Imposible dar un valor concreto. Para este curso digamos que si |r|>0,7 hay buena relación lineal y que si |r|>0,4 hay cierta relación (por decir algo... la cosa es un poco más complicada… observaciones atípicas, homogeneidad de varianzas...)Regresión: sirve para predecir una medida en función de otra medida (o varias).Y = Variable dependiente-predicha-explicada.X = Variable independiente-predictora-explicativa.¿Es posible descubrir una relación?Y = f(X) + error.f es una función de un tipo determinado.el error es aleatorio, pequeño, y no depende de X. El ejemplo del estudio de la altura en grupos familiares de Pearson es del tipo que desarrollaremos en el resto del tema. Es decir, nos interesaremos por modelos de regresión lineal simple. Modelo de regresión lineal simple: En el modelo de regresión lineal simple, dado dos variables. Y(dependiente).X (independiente, explicativa, predictora) buscamos encontrar una función de X muy simple (lineal) que nos permita aproximar Y mediante.? = b0 + b1X.b0 (ordenada en el origen, constante).b1 (pendiente de la recta). Y e ? rara vez coincidirán por muy bueno que sea el modelo de regresión. A la cantidad. e=Y-? se le denomina residuo o error residual. Resumen sobre bondad de un ajuste: La bondad de un ajuste de un modelo de regresión se mide usando el coeficiente de determinación R2: R2 es una cantidad adimensional que sólo puede tomar valores en [0, 1].Cuando un ajuste es bueno, R2 será cercano a uno.Cuando un ajuste es malo R2 será cercano a cero.A R2 también se le denomina porcentaje de variabilidad explicado por el modelo de regresión.R2 puede ser pesado de calcular en modelos de regresión general, pero en el modelo lineal simple, la expresión es de lo más sencilla: R2=r2. Otros modelos de regresión: Se pueden considerar otros tipos de modelos, en función del aspecto que presente el diagrama de dispersión (regresión no lineal). Incluso se puede considerar el que una variable dependa de varias (regresión múltiple).