Teoremas del factor y ceros racionales
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Polinomio Llamamos pola toda expresión de la forma
P(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 con an ≠0
El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de pol nulo.
Si an ≠0, decimos que el pol tiene grado n.El polinomio nulo carece de grado.
Multiplicidad m de un cero: Si (x-c)↑m es factor de P(x) y (x-c)↑m+1 no lo es , entonces c es una raíz de multiplicidad m repite m veces un factor (x-c) en la factorización, entonces c es un cero de multiplicidad mde P(x) o raíz de multiplicidad m.
si m es impar ^ m>1 la graf atraviesa al eje x en ese pto c
si m es par ^ m>1 la graf chok el eje x en ese pto c, n lo atraviesa
Algoritmo d la division
P(x) lQ(x) → P(x)=Q(x).C(x)+R(x) ; Q(x) ≠0 ; gr R(x)< gr="">
R(x) C(x)
Regla de Ruffini: cuando P(x) se dividx el pol lineal de la forma(x-a). utilizams la regla de ruffini, p/ obtener el resto y el cocient d manera mas directa y sencilla
divisor Q(x)=(x+-a) --> gr Q(x)= 1 , a ≠ 0 y E R
Teorema del Resto: El resto de dividir P(x) por un binomio de forma (x - c) es P(c).
P(c)=R
Demostración: por el algoritmo de la división:
P(x)= (x-c).C(x)+ R
P(c)=(c-c).C(x)+R
P(c)=R
- Factorear un pol: es expresarlo cmo prod d pol irreducibles.
-Pol Irreducibles: son ls pol d gr 1 y ls pol d gr par cn raices C
Cero de un polinomio: Se dice que c es un Cero o Raiz del Polinomio P(x) siP(c) = 0
Factor: decimos q Q(x) es un factor de P(x) sii el resto es 0 cuando se divide P(x) por Q(x).
Teorema del Factor: Un polinomio P(x) tiene un factor (x-c) si y solo sí P(c)=0
Demostración: Si (x-c) es un factor , existe C(x) tal que podemos escribir :
P(x)=(x-c).C(x)
P(x)=(c-c).C(c)
P(c)=0
Si P(c) = 0 entonces (x-c) es un factor de P(x)Por el teorema del resto, si P(c)=0 entonces el R=0. Por el algoritmo de la división:
P(x)= (x-c).Q(x)+R
P(c)=0.C(c)+R
P(c)= R pero como P(c)=0 --> R=0
Teorema de los Ceros Racionales:Sea P(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 un pol de coef enteros ,an ≠0 y sea p/q una raiz con p y q E R y coprimos → p es divisor a0 y q≠0 y divisor de an
Demostracion
si p/q es un 0 → P(p/q)= an(p/q)n+an-1(p/q)n-1+...+a,(p/q)+a0=0
an.pn/qn+an-1.pn-1/qn-1+...+a1.p/q+a0=0
(mult x qn) an.pn+an-1.pn-1.q+...+a1p.qn-1+a0.qn=0 •
an.pn+an-1.pn-1.q+...+a1.p.qn-1=-a0.qn
p.(an+an-1.pn-2.q+...+a1.qn-1)=-a0.qn
p es factor de -a0qn , p no es facotr de q →p no es factor de qn → p es factor de a0
pasando el otro miembro an.pn en •
an-1.pn-1.q+...+a1.p.qn-1+a0.qn=-an.pnq(an-1.pn-1+...+a1.p.qn-2+a0.qn-1)=-an.pn
q es factor de -an.pn, q no es factor de p → no es factor de pn → q es factor de an