Teoremas del factor y ceros racionales

Polinomio Llamamos pola toda expresión de la forma
P(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0     con an ≠0

donde n E N y an , an-1 , ... , a1 , a0 son coef R , x = variable indep, an = coef ppal, a0= term idep

El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de pol nulo.
Si an ≠0, decimos que el pol tiene grado n.El polinomio nulo carece de grado.

Multiplicidad m de un cero: Si (x-c)↑m es factor de P(x) y (x-c)↑m+1 no lo es , entonces c es una raíz de multiplicidad m repite m veces un factor (x-c) en la factorización, entonces c es un cero de multiplicidad mde P(x) o raíz de multiplicidad m.

si m es impar ^ m>1 la graf atraviesa al eje x en ese pto c

si m es par ^ m>1 la graf chok el eje x en ese pto c, n lo atraviesa

Algoritmo d la division

P(x) lQ(x)   → P(x)=Q(x).C(x)+R(x) ; Q(x) ≠0 ; gr R(x)< gr="">

R(x)  C(x)
Regla de Ruffini: cuando P(x) se dividx el pol lineal de la forma(x-a). utilizams la regla de ruffini, p/ obtener el resto y el cocient d manera mas directa y sencilla

divisor Q(x)=(x+-a) --> gr Q(x)= 1 , a ≠ 0 y E R

Teorema del Resto: El resto de dividir P(x) por un binomio de forma (x - c) es P(c).
P(c)=R

Demostración: por el algoritmo de la división:
P(x)= (x-c).C(x)+ R

P(c)=(c-c).C(x)+R
P(c)=R
- Factorear un pol:  es expresarlo cmo prod d pol irreducibles.

-Pol Irreducibles: son ls pol d gr 1 y ls pol d gr par cn raices C

Cero de un polinomio: Se dice que c es un Cero o Raiz del Polinomio P(x) siP(c) = 0

Factor: decimos q Q(x) es un factor de P(x) sii el resto es 0 cuando se divide P(x) por Q(x).

Teorema del Factor: Un polinomio P(x) tiene un factor (x-c) si y solo sí P(c)=0

Demostración: Si (x-c) es un factor , existe C(x) tal que podemos escribir :

P(x)=(x-c).C(x)

P(x)=(c-c).C(c)

P(c)=0 

Si P(c) = 0 entonces (x-c) es un factor de P(x)

Por el teorema del resto, si P(c)=0 entonces el R=0. Por el algoritmo de la división:
P(x)= (x-c).Q(x)+R

P(c)=0.C(c)+R

P(c)= R pero como P(c)=0 --> R=0

Teorema de los Ceros Racionales:

Sea P(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 un pol de coef enteros ,an ≠0 y sea p/q una raiz con p y q E R y coprimos → p es divisor a0 y q≠0 y divisor de an

 Demostracion

si p/q es un 0 → P(p/q)= an(p/q)n+an-1(p/q)n-1+...+a,(p/q)+a0=0

an.pn/qn+an-1.pn-1/qn-1+...+a1.p/q+a0=0

(mult x qn) an.pn+an-1.pn-1.q+...+a1p.qn-1+a0.qn=0 •

an.pn+an-1.pn-1.q+...+a1.p.qn-1=-a0.qn

p.(an+an-1.pn-2.q+...+a1.qn-1)=-a0.qn

p es factor de -a0qn , p no es facotr de q →p no es factor de qn → p es factor de a0

pasando el otro miembro an.pn en •

an-1.pn-1.q+...+a1.p.qn-1+a0.qn=-an.pn

q(an-1.pn-1+...+a1.p.qn-2+a0.qn-1)=-an.pn

q es factor de -an.pn, q no es factor de p → no es factor de pn → q es factor de an