Análisis de Torsión en Barra Circular Variable: Cálculo de Momento Torsor, Esfuerzo Cortante y Ángulo de Giro
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Una barra de sección circular variable y de largo 8 [m] se ha modelado de manera que su diámetro varía con respecto a su largo de acuerdo con la fórmula:
[m], cuyo diámetro inferior es de 0,5 [m] y su diámetro mayor es de 1,5 [m]. La barra se encuentra empotrada en su extremo de mayor diámetro. A esta barra se le aplica una torsión uniforme:
[Nm], donde la torsión en el extremo inferior es de 150 [Nm] y en el extremo superior es de 380 [Nm]. Se ha determinado que el módulo de elasticidad al corte también depende del largo, de acuerdo con la función:
[MPa]. Determine:
- Módulo Momento torsor máximo
- Módulo Esfuerzo Cortante Máximo
- Ángulo de la sección libre en grados.
Solución:
Primero debemos determinar, de acuerdo con los valores iniciales dados, los valores de:
y 
para 
:
Debemos aplicar condición de equilibrio:
Por lo tanto, la reacción es positiva.
Debemos determinar la función del momento torsor, la que se obtiene luego de realizar el corte entre el extremo superior y el extremo inferior.
(Es entre 8 y “x” debido al sistema de referencia impuesto por las condiciones iniciales).
Tomando en cuenta que el argumento en el paréntesis puede ser escrito como 
con 
como el valor máximo es cuando 
(no nos interesa en qué posición se encuentre). Por lo tanto, el valor máximo de 
es 
(También es válido realizar análisis con la derivada de la función)
Por lo tanto, el esfuerzo de corte máximo presente en la barra es:
El cambio es debido a que la barra es circular, por lo que d=2r. Para que el corte sea máximo, d debe ser mínimo, ósea d=0,5[m], por lo tanto
Para determinar el Ángulo de giro debemos considerar la integral:
Donde:
Con:
Y:
Por lo tanto:
Consideraremos la integral
Ósea:
Y: 
Por lo tanto:
Tomando en cuenta que el argumento en el paréntesis puede ser escrito como
con
como el valor máximo es cuando
(no nos interesa en qué posición se encuentre). Por lo tanto, el valor máximo de
es
(También es válido realizar análisis con la derivada de la función)
Por lo tanto, el esfuerzo de corte máximo presente en la barra es:
El cambio es debido a que la barra es circular, por lo que d=2r. Para que el corte sea máximo, d debe ser mínimo, ósea d=0,5[m], por lo tanto
Para determinar el Ángulo de giro debemos considerar la integral:
Donde:
Con:
Y:
Por lo tanto:
Consideraremos la integral
Ósea:
Y:
Por lo tanto:
Y:
Por lo tanto:
Consideraremos la integral
Ósea:
Y:
Por lo tanto: