Cálculo Multivariable y Álgebra Lineal: Procedimientos y Teoremas Fundamentales

Extremos Absolutos

Para hallar los extremos absolutos, tendremos siempre dos ecuaciones que formarán el recinto y una función F (a veces hay que deducirla, como en el ejercicio de la distancia entre puntos: $d(A, B) = \sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}$).

Procedimiento paso a paso:

1. Representar la función: Dibujar el recinto definido por las ecuaciones.
2. Extremos libres en el interior del recinto: Derivamos respecto a x e y en la función F, igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos.
3. Extremos condicionados en la frontera: Debemos centrarnos en las partes que forman el recinto. Aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange: $L = F(x, y) + \lambda(g(x, y))$, donde $g(x, y)$ es la ecuación de la frontera totalmente despejada. Calculamos las derivadas parciales respecto a x, y y $\lambda$ para obtener los puntos. Repetimos el proceso con cada ecuación del recinto.
4. Puntos de pico del recinto: Igualamos las funciones que delimitan el recinto (por ejemplo, $x - 3 = x^2 - 4x - 1$), despejamos x y sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar y. Obtendremos uno o dos puntos dependiendo de las soluciones de x.
5. Evaluación final: Calculamos el valor de la función F en cada punto hallado (ejemplo: $F(d) = 9$). El valor mayor será el máximo absoluto y el valor menor será el mínimo absoluto.

Aplicación Lineal

En toda aplicación lineal se cumple la relación: DIM KER(f) + DIM IM(f) = DIM ESPACIO INICIAL.

• Inyectiva: Si la dimensión del núcleo es cero ($\dim \ker f = 0$).
• Suprayectiva: Si la dimensión de la imagen coincide con la del espacio final.
• Biyectiva: Cuando la aplicación es inyectiva y suprayectiva simultáneamente.
• Endomorfismo: Cuando el espacio inicial y el espacio final coinciden.

Subespacios Vectoriales

• $S \cap T$ (Intersección): Formado por los vectores comunes a ambos subespacios. Se halla uniendo las ecuaciones implícitas de ambos, formando una matriz y extrayendo la base y dimensión.
• $S + T$ (Suma): Subespacio formado por la unión de los vectores de S y T. Se genera un sistema uniendo las bases de ambos subespacios, disponiéndolas en una matriz y seleccionando los vectores linealmente independientes para la base.

Fórmula de Grassmann: $\dim(U + V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$.

Relación de dimensión: $\dim V + \text{nº de ecuaciones implícitas} = \text{dimensión del espacio final}$.

Teorema de Taylor y Diagonalización

Polinomio de Taylor: $f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots$

Relación de matrices: $A = PDP^{-1}$ (donde D es la matriz diagonal y P la matriz de paso).

Continuidad y Diferenciabilidad

Continuidad

Una función es continua si $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)$. Si el límite presenta una indeterminación, realizamos un cambio a coordenadas polares; el resultado debe ser 0 para confirmar la continuidad.

Derivadas Parciales

• Derivada parcial respecto a x en (0,0): $\lim_{t \to 0} \frac{f((0,0) + t(1,0)) - f(0,0)}{t}$. En $f(t,0)$ sustituimos en la función original $x=t$ e $y=0$.
• Derivada parcial respecto a y: Se aplica el mismo procedimiento utilizando el vector $(0,t)$.

Derivada Direccional

$D_u F$: Se calcula siguiendo el mismo método de las parciales, pero utilizando un vector unitario genérico $t(u_1, u_2)$.

Diferenciabilidad

Se plantea de forma similar al límite de continuidad, restando el incremento lineal: $\frac{f(h,k) - f(0,0) - (\frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)) \cdot (h,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}}$. Aplicamos cambio a polares y el límite debe ser igual a 0 para que la función sea diferenciable.