Capitalización Compuesta y Rentas Financieras: Fórmulas, Tipos de Interés y Clasificación

Capitalización compuesta

Las operaciones financieras en régimen de capitalización compuesta se utilizan para determinadas operaciones con vencimiento superior al año. La característica fundamental de la capitalización compuesta es que, en este caso, los intereses sí son productivos, se acumulan al capital para producir nuevos intereses.

La expresión matemática de la ley financiera de capitalización compuesta es: L(t,p) = (1+i)^p-t con i>0 y p>t.

Si hacemos coincidir t con el origen (t=0) y p con el final de la operación (p=n), la expresión anterior se transforma en: L(n) = (1+i)ⁿ, es decir, 1 um se transforma al cabo de n años en (1+i)ⁿ.

El tanto i y el número de años n deben estar expresados en la misma unidad de medida, que normalmente acostumbra a ser años.

1 Cálculo del montante

Si operamos en origen con C₀ en lugar de 1 um, el capital final o montante que obtendremos cuando transcurran n años y suponiendo un tipo de interés efectivo anual i, vendrá dado por la expresión: C_n = C₀·(1+i)ⁿ.

2 Cálculo del valor actual

El cálculo del valor actual, también conocido como actualización, constituye la operación inversa a la capitalización o cálculo del montante. Consiste en valorar una cantidad a fecha anterior: C₀ = C_n·(1+i)^-n.

3 Cálculo del interés

El interés que genera una operación lo calcularemos por diferencia entre capital final e inicial: I = C_n - C₀ o I = C₀·((1+i)ⁿ - 1).

4 Tipos de interés

4.1 Tanto de interés efectivo anual

El parámetro i que figura en la ley financiera de capitalización compuesta, y que se refiere a un periodo unitario de amplitud anual, recibe el nombre de tanto o tipo de interés efectivo anual. Desde el punto de vista financiero puede interpretarse como lo que produce una unidad monetaria invertida en capitalización compuesta durante un año: i = (1+i_m)^m - 1.

4.2 Tantos de interés equivalentes

Dos tantos son equivalentes cuando, aplicados sobre el mismo capital inicial durante el mismo tiempo, dan lugar al mismo capital final: i_m = (1+i)^1/m - 1.

Capitalizamos de 2 formas el mismo capital inicial de 1 um durante un periodo de tiempo, o durante m subperiodos (que es igual). En el primer caso el montante obtenido será (1+i), siendo i el tanto del periodo; mientras que en el segundo caso, el montante será de (1+i_m)^m, siendo i_m el tanto relativo al subperiodo.

El tanto i y el tanto i_m serán equivalentes si, aplicados sobre la misma cuantía (1 um) y durante el mismo periodo, dan lugar al mismo capital final: (1+i) = (1+i_m)^m. Siendo: i el tanto del periodo, i_m el tanto del subperiodo (tanto equivalente) y m el número de subperiodos contenidos en el periodo. Si el periodo es el año y los subperiodos son meses, entonces i será el tanto anual, m=12 meses y el tanto equivalente será i₁₂. El tanto efectivo anual i equivalente al tanto i_m es i = (1+i_m)^m - 1.

4.3 Tanto de interés nominal anual

Además de i e i_m existe en capitalización compuesta otro tanto que se denomina tanto nominal de frecuencia m, o tanto nominal convertible. Este tanto se designa J_m y se verifica que: J_m = m·i_m.

El tanto nominal, por sí solo, no tiene otra utilidad que hacer referencia al periodo en que se va a capitalizar y, a partir de él, se obtiene i_m y el tanto efectivo anual (i).

El Banco de España exige a las entidades financieras que en todas las operaciones que éstas realicen se debe indicar el tanto nominal que se aplica a cada operación.

Comparación de montantes de capitalización simple y compuesta

Capitalización simple: C_n = C₀·(1+n·i).
Capitalización compuesta: C_n = C₀·(1+i)ⁿ.

Donde:

• Si n=1, los montantes obtenidos en CS y CC son iguales.
• Si n<1, el montante obtenido en CS es mayor que el montante obtenido en CC.
• Si n>1, el montante obtenido en CS es menor que el montante obtenido en CC.

Rentas

En matemáticas financieras se define renta como un conjunto de capitales financieros asociados a un intervalo de tiempo. En toda renta podemos distinguir:

• Conjunto de capitales financieros o términos de renta a_i (i=1,2,3,...,n).
• Periodo de maduración: tiempo que transcurre entre dos términos consecutivos (0,1), (1,2), ..., (n-1,n), o sea, días, meses o años.
• Origen de renta: es el extremo inferior del primer periodo de maduración.
• Final de renta: es el extremo superior del último periodo de maduración.
• Duración: tiempo que transcurre entre origen y final de la renta.

Valor capital o financiero de una renta

Se denomina valor financiero o capital de una renta en un momento determinado a la suma del valor de todos sus capitales proyectados a ese instante de tiempo. Si la suma del valor de todos los capitales se refiere al momento inicial 0 (origen de la renta), se denomina valor actual, y si la valoración se produce al final de la renta (momento n), se denomina valor final.

Valor actual = a₁·(1+i)^-1 + a₂·(1+i)^-2 + ... + a_n·(1+i)^-n.

Valor final = a₁·(1+i)^n-1 + a₂·(1+i)^n-2 + ... + a_n-1·(1+i)¹ + a_n.

Clasificación de las rentas

Las rentas pueden clasificarse atendiendo a distintos criterios, no excluyentes entre sí, según las características de los elementos que las definimos.

Según el momento elegido para valorar la renta

• Inmediatas: cuando los términos de la renta se valoran en cualquier punto del intervalo de duración de la renta (0,n). Cuando la valoración se hace entre 0 y n. Valorar en 3 es llevar todas las elevadas a 3.
• Diferidas: cuando los términos de renta se valoran en punto anterior al origen de la renta.
• Anticipadas: cuando el punto de valoración es posterior al final de la renta.

Según la cantidad de términos que forman la renta

• Constantes: cuando los términos que componen la renta son iguales: a₁=a₂=a₃=...=a_n=a.
• Variables: cuando los términos que componen la renta no son iguales, se distingue entre variables de progresión aritmética (cuando los términos varían en progresión aritmética, a_k=a_k-1+d; por ejemplo 2,4,6,8,10... con d=2, sumando, siendo d la razón de progresión) y variables de progresión geométrica (cuando los términos varían formando progresión geométrica, a_k=a_k-1·q; por ejemplo 2,4,8,16... con q=2, multiplicando).

Según la duración de los intervalos o periodos de maduración de la renta

• Discretas: cuando la amplitud de los intervalos es finita (anual, mensual, trimestral, etc., por lo menos de meses).
• Continuas: cuando la amplitud de los intervalos tiende a 0 (días).

Según los elementos que definen la renta

• Ciertas: cuando los elementos que definen la renta son conocidos con certeza.
• Aleatorias: cuando algunos de los elementos que definen la renta, cuantía y/o vencimiento, dependen de un fenómeno aleatorio (ejemplo: seguros de vida).

Según el vencimiento de los términos

• Pospagables: aquellas en que los términos vencen al final de cada intervalo (de atrás hacia delante).
• Prepagables: aquellas en que los términos vencen al principio de cada intervalo (de adelante hacia atrás, acabando un intervalo antes).

En función de la duración

• Temporales: constan de un número finito de términos.
• Perpetuas: constan de un número infinito de términos.

Según la periodicidad del vencimiento

• Fraccionadas: si las cuantías de los términos vencen con periodicidad distinta a la del tipo de interés. Por ejemplo, renta trimestral a la que se aplica un tipo de interés efectivo semestral.
• No fraccionadas: si las cuantías de los términos vencen con periodicidad igual a la del tipo de interés. Por ejemplo, renta mensual con tasa efectiva mensual.