Cinemática y Dinámica de la Partícula: Fórmulas, Leyes y Conceptos Clave de Física

Cinemática

Cinemática

r = distancia al origen; s = espacio recorrido

lim_Δs→0 Δr/Δs = u_t

v = ds/dt · u_t

Movimiento rectilíneo

• MRU: x = x₀ + v₀t
• MRUA: v = v₀ + at; x = x₀ + v₀t + ½at²

Aceleraciones intrínsecas

a_t = d|v|/dt; a_n = v²/ρ; a = a_t + a_n

Movimiento circular

ω = dθ/dt; v = Rω; R = r senφ; v = ω × r

• Circular uniforme: a = ω²R = ω × (ω × r); ω × r = v

Movimiento parabólico

V_0x = v cosα; V_0y = v senα

V_x = v cosα; V_y = v senα − gt

• Tiempo a altura máxima: t = V_0y/g
• Altura máxima: h = V₀² sen²α / 2g
• Alcance horizontal: R = v₀² sen2α / g

Movimiento relativo

• Velocidad de arrastre: v_a = v_O' + ω × r'
• Velocidad relativa: v' = dr'/dt
• Velocidad absoluta: v = v' + v_a

Dinámica de la partícula

Dinámica de la partícula

Fuerzas de rozamiento

F_re = μ_eN; F_rd = μ_dN

Fuerzas entre sólido y fluido

F_r = −Kv; en esfera: F_r = −6πηRv

• Velocidad límite: v_L = F/K
• v = v_L + (v₀ − v_L)e^−(Kt/m)
• En v₀ = 0: v = v_L(1 − e^−(Kt/m))
• s = v_Lt + (v_Lm/K)(e^−(Kt/m) − 1)
• Tiempo de relajación: τ = m/K (tiempo para el cual v = 63% de v_L)

Fuerzas de inercia

F_a = −ma_O' − mα × r − mω × (ω × r)

F_co = −2mω × v

Momento lineal, impulso y momento angular

• Momento lineal: p = mv
• Impulso: I = ∫_t1^t2 F dt = Δp
• Momento angular: L_O = r × p
• dL_O/dt = r × F = M₀

Sólido rígido

Sólido rígido

Energía cinética de rotación

E_crot = ½ Σ(m_iR_i²ω²) = ½Iω²; I = Σm_iR_i²

Para distribución continua: I = ∫_D r² dm

Momentos de inercia característicos

• Anillo: I = MR²
• Disco uniforme: I = ½MR²
• Barra sin espesor (desde extremo): I_y = ⅓ML²
• Cilindro homogéneo: I = MR²/2

Tensor de inercia

I_xx = ∫(y² + z²)dm; I_xy = ∫(−xy)dm

Si el plano XY es de simetría, I_xz = I_yz = 0. Atento a la simetría, podría ser I_xx = I_yy.

Siempre habrá que obtener dm = σ_sds (superficial), λds (lineal) o ρdV (volumétrica).

Teorema de Steiner

I_A = I_G + I_G^A, donde I_G^A = masa × (matriz), con xx = AG_y² + AG_z y xy = −AG_xAG_y

Direcciones principales de inercia

Se calcula la matriz I − λI, donde I es la matriz identidad.

Radio de giro

K = (I_e/M)^1/2

Teoremas de ejes paralelos y perpendiculares

• Ejes paralelos: I_Z = Σm_iR_i²; I_ZCM = Σm_iR_iCM²; I_Z = I_ZCM + Md²
• Ejes perpendiculares (sólido plano): I_x = Σm_iy_i²; I_y = Σm_ix_i²; I_Z = Σm_iR_i²; I_Z = I_x + I_y

Momento angular del sólido

Hay tres ejes perpendiculares que cumplen L = Iω para sólido rígido.

M^ext = Iα; si M^ext = 0, L = cte.

Con un cuerpo deformable: Iω = I'ω' = cte.

F^ext = Ma_CM; M^ext = I_CMα

Se usa Iω = cte mediante el principio de conservación del momento angular.

Trabajo y energía

Trabajo y energía

Trabajo

dW = F · dr = |F|ds cosθ = F_tds; W = ∫_A^B F_t ds

Teorema de la energía cinética

W_AB = ∫_A^B F · dr = ∫_A^B m a · dr. Como a = dv/dt y dr = v dt, entonces W_AB = ∫_A^B mv dv = ½mv_B² − ½mv_A² = E_cB − E_cA

Potencia

P = dW/dt = F · v; W = P·t

1 CV = 75 kg·m/s = 735 W

Energía potencial

Gradiente de U: ∇U = (∂U/∂x)i + ...; dU = ∇U · dr = −∇U · dr; F = −∇E_p

W_c = −ΔE_p; −dE_p = F · dr

• Muelle: E_p = ½k(Δx)²

Conservación de la energía

W_nc,AB = ΔE_c + ΔE_p; W_roz = −ΔU; ΔE + ΔU = 0; E + U = cte

Si hay otra fuerza no conservativa: W_nc = ΔE + ΔU