Concavidad, convexidad y puntos de inflexión en funciones
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Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Una curva puede ser cóncava y convexa a la vez, según desde dónde estemos mirando la función.
Una función es cóncava (desde la parte positiva del eje Y) o convexa (desde la parte negativa del eje Y) cuando al aumentar la variable, aumenta la pendiente de la recta tangente a la curva en las inmediaciones del punto.
Por lo que, en la función f(x) al crecer la variable aumenta la pendiente de la recta tangente (es decir, la derivada) entonces se tiene os siguiente:
Para la función f(x) la pendiente de la recta tangente crece al crecer la variable entonces f’(x) crece, por lo que su derivada es positiva, es decir (f’)’(x) es positiva, por lo que f’’(x) es positiva.
Observación:
Si f(x) es cóncava en x=a → f’’(a)>0
Una función es convexa (desde la parte positiva del eje Y) o convexa (desde la parte negativa del eje Y) cuando al aumentar la variable, disminuye la pendiente de la recta tangente a la curva en las inmediaciones del punto.
Por lo que, en la función f(x) al crecer la variable disminuye la pendiente de la recta tangente (es decir, la derivada) entonces se tiene os siguiente:
Para la función f(x) la pendiente de la recta tangente decrece al crecer la variable entonces f’(x) decrece, por lo que su derivada es negativa, es decir (f’)’(x) es negativa, por lo que f’’(x) es negativa.
Observación:
Si f(x) es cóncava en x=a → f’’(a)<0
Los puntos en los que la función pasa de cóncava a convexa y viceversa son puntos de inflexión.
Observaciones:
1) Si una función f(x) cumple que f’’(a)>0, entonces la función es cóncava (desde +OY) en x=a
2) Si una función f(x) cumple que f’’(a)<0, entonces la función es convexa (desde +OY) en x=a
3) Si una función f(x) cumple que f’(a)=0 y f’’(x)>0 entonces la función f(x) tiene un mínimo relativo en x=a. El valor del mínimo es f(a).
4) Si una función f(x) cumple que f’(a)=0 y f’’(x)<0 entonces la función f(x) tiene un máximo relativo en x=a. El valor del máximo es f(a).
5) Si una función f(x) cumple que f’(a)=0, f’’(a)=0 y además f’’’(a)≠0 entonces la función f(x) tiene un punto de inflexión en x=a.