Capitalización simple y compuesta, tipos de interés y rentas: fórmulas y ejemplos

Resumen

Resumen de fórmulas de capitalización simple y compuesta, descuento comercial y tipos de interés nominal y efectivo, con ejemplos numéricos. También recoge la conversión entre tipos efectivos equivalentes, la tasa anual equivalente y una clasificación de las rentas financieras.

Puntos clave

En capitalización simple, el capital final es C' = C · (1 + i · t).
En capitalización compuesta, C' = C · (1 + i/m)^(m·t), donde m es la frecuencia de capitalización.
El tipo efectivo por periodo se obtiene dividiendo el nominal entre la frecuencia: 10% semestral nominal equivale a 5% efectivo semestral.
Los tipos efectivos equivalentes cumplen Im' = (1 + Im)^(m/m') - 1.
Una renta vencida se paga al final del periodo y una anticipada al inicio; una temporal tiene un número finito de términos y una perpetua infinito.
El valor de una renta constante se calcula como V = C · (1 - (1 + Im)^(-n)) / Im.

Ponte a prueba

Capitalización Simple y Compuesta

Capitalización Simple (Interés Simple Vencido):

El capital final (C') se calcula a partir del capital inicial (C), el tipo de interés (i) y el tiempo (t):

C' = C · (1 + i · t)
Si se pregunta el precio de la operación financiera: C' - C

Descuento Comercial:

Se calcula el capital inicial (C) a partir del capital final (C'), la tasa de descuento (d) y el tiempo (t):

C = C' · (1 - d · t)

Capitalización Compuesta:

El tiempo (n) se calcula como el producto de la frecuencia de capitalización (m) y el tiempo en años (t):

n = m · t

Tipos de capitalizaciones (C'):

C' = C · (1 + i · 1/m)ⁿ = C · (1 + i · 1/m)^m·t

Ejemplo: C = 1000, t = 2 años, i = 0.10. Capitalización mensual (m = 12). n = 12 · 2 = 24 meses. Entonces: C' = 1000 · (1 + 0.10 · 1/12)²⁴ = 1220.39

Tipos de Interés: Nominal y Efectivo

Interés Nominal (i(m)):

Interés nominal anual capitalizable semestralmente: i(2)
Interés nominal anual capitalizable mensualmente: i(12)

Fórmula:

C' = C · (1 + i(m)/m)^m·t (Fórmula de interés compuesto)

Interés Efectivo (Im):

Diferencia: i(m) es un tanto por ciento anual con capitalización trimestral, mientras que Im es el tanto trimestral.

Conversión de Nominal a Efectivo:

Ejemplo: 10% anual capitalizable semestralmente. El tipo efectivo semestral es: i(2) = 0.10 --> I2 = 0.10 / 2 = 0.05 = 5%

Fórmula:

C' = C · (1 + Im)^m·t = C · (1 + Im)ⁿ

Actualización/Descuento de un Capital Financiero:

C = C' · (1 + Im)^-n

Ejemplo: Se retiran 1215.51 al 10% anual con capitalización semestral hace 2 años. ¿Cuál fue la imposición inicial? 1215.51 · (1 + 0.05)^-4 = 1000 (0.05 proviene de 0.10 / 2)

Tipos de Interés Efectivos Equivalentes

Fórmula para encontrar tipos de interés efectivos equivalentes:

Im' = (1 + Im)^m/m' - 1

Ejemplo 1: Tipo efectivo anual equivalente a 5% semestral: (1 + I1)¹ = (1 + I2)² --> I1 = (1 + I2)² - 1. I1 = (1 + 0.05)² - 1 = 0.1025

Ejemplo 2: ¿Efectivo semestral equivalente a 10% anual? I2 = (1 + 0.10)^1/2 - 1

Tasa Anual Equivalente (TAE)

Ejemplo con diferentes métodos de capitalización (C=1000, 2 años, 0.10):

Interés Simple Vencido (ISV): Cálculo normal: 1200. Luego: (1 + I*)² --> 1 + I*1 = (1200/1000)^1/2 --> I*1 = (1200/1000)^1/2 - 1 = 0.095...
Interés Compuesto con Capitalización Anual (ICCA): C' = 1000 · (1 + 0.10)² = 1210. La TAE es del 10%.
Interés Compuesto con Capitalización Semestral (ICCS): I2 = 0.10 / 2 = 0.05. n = 2 · 2 = 4. C' = 1000 · (1 + 0.05)⁴ = 1215.51. (1 + I*1) = (1 + I2)² --> I*1 = (1 + I2)² - 1. I1 = (1 + 0.05)² - 1 = 0.1025

Tipos de Rentas

Renta Vencida: El término se localiza al final del período (en el momento 1).
Renta Anticipada: El término se localiza al inicio del período (en el momento 0).
Renta Inmediata: La renta comienza en el primer período de la operación.
Renta Diferida: El origen de la operación es posterior al origen de la renta.
Renta Temporal: La renta tiene un número finito de términos.
Renta Perpetua: La renta tiene un número infinito de términos.
Renta Constante: Todos los términos son iguales.
Renta Variable: Los términos de la renta varían según una determinada función.

Fórmulas Adicionales:

C = C' · (1 + Im)^-n
Vn = V0 · (1 + Im)ⁿ

Valor de la renta (V):

V = C · ( (1 - (1 + Im)^-n) / Im )

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el capital final en capitalización simple?

Se multiplica el capital inicial por (1 + i · t), siendo i el tipo de interés y t el tiempo. Por ejemplo, con C = 1000, i = 0.10 y t = 2, el capital final es 1200.

¿Cuál es la diferencia entre interés nominal y efectivo?

El interés nominal i(m) es un tanto anual con capitalización m veces al año, mientras que el efectivo Im es el tanto correspondiente a cada periodo de capitalización. Por ejemplo, 10% anual capitalizable semestralmente equivale a un 5% efectivo semestral.

¿Qué es una renta vencida?

Es una renta cuyo término se localiza al final de cada período, en el momento 1. Se contrapone a la renta anticipada, cuyo término se sitúa al inicio del período.