Conceptos clave de estadística: parámetros, estimadores y propiedades

Características poblacionales y muestrales

Parámetro estadístico

Resume la información calculada con las variables poblacionales. Se representa con letras griegas.

→ Las operaciones algebraicas realizadas con parámetros también son parámetros.

Estadígrafo y estimador

→ Estadígrafo: función escalar generada con las variables muestrales.

• ➢ Estadígrafo de transformación: tipo especial de estadígrafo que se utiliza para inferir concretamente los parámetros. Es un estadígrafo que permite transformar al estimador en una variable que tenga una determinada distribución de probabilidad.

→ Estimador de un parámetro: todo estadígrafo que proporcione información acerca de dicho parámetro.

Estimación

Inferir conclusiones acerca de los parámetros a través de las variables muestrales. Existen 2 métodos:

• → Estimación puntual: calcular el valor numérico único que asume el estimador luego de tomar la muestra y realizar las mediciones correspondientes. Este valor se llama punto de estimación.
• → Estimación por intervalo: calcular, con los datos de la muestra, los límites de un conjunto cerrado y acotado de números reales.

Sesgo

Diferencia entre la esperanza matemática del estimador y el parámetro a estimar. E(θ̂) − θ

Propiedades de los buenos estimadores

Propiedades más importantes que debe tener un estimador para ser considerado un buen estimador del parámetro.

✓ Insesgadez

Un estimador θ̂ es insesgado del parámetro θ si y solo si la esperanza del estimador es igual al parámetro. En otras palabras, si su sesgo es igual a cero.

Si el promedio aritmético de todas las muestras resulta igual al valor del parámetro, es insesgado. Caso contrario, es sesgado.

• ▪ Para establecer la propiedad de insesgamiento hay que pasar al límite la esperanza matemática del estimador:

El estimador θ̂ es asintóticamente insesgado del parámetro θ si y solo si el límite de la esperanza matemática del estimador θ̂ es igual al parámetro cuando el tamaño de la muestra n tiende a infinito.

✓ Consistencia

El estimador es consistente si y solo si se cumple que el estimador converge en probabilidad al parámetro cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito.

Si a medida que el tamaño de la muestra crece indefinidamente (tiende a infinito), la probabilidad de que la diferencia entre el estimador y el valor del parámetro pueda hacerse tan pequeña, tiende a la unidad.

Teorema sobre la verificación de consistencia

Si la varianza del estimador tiende a cero cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito (en caso de poblaciones infinitas) o tiende al tamaño de la población (en caso de poblaciones finitas).