Conceptos Fundamentales de Análisis Matemático y Álgebra Lineal

Entornos en la Recta Real

• Entorno de centro a y radio B: E(a, B) = (a – B, a + B)
• Entorno reducido de centro a y radio B: E*(a, B) = (a – B, a) ∪ (a, a + B)

Propiedades de los Conjuntos (A ⊂ ℝ)

Acotación

• Acotado superiormente: Existe k ∈ ℝ tal que x ≤ k, ∀x ∈ A. En este caso, k es una cota superior de A.
• Acotado inferiormente: Existe k ∈ ℝ tal que x ≥ k, ∀x ∈ A. En este caso, k es una cota inferior de A.

Extremos y Óptimos

• Extremo superior (sup(A)): La menor de sus cotas superiores.
• Extremo inferior (inf(A)): La mayor de sus cotas inferiores.
• Máximo (max(A)): sup(A) si sup(A) ∈ A.
• Mínimo (min(A)): inf(A) si inf(A) ∈ A.

Axiomas

• Axioma del supremo: Si A ≠ ∅ y está acotado superiormente, tiene extremo superior.
• Axioma del ínfimo: Si A ≠ ∅ y está acotado inferiormente, tiene extremo inferior.

Funciones: Clasificación y Propiedades

• Inyectiva: f: A → B es inyectiva si cualquier par de elementos distintos de A tiene imágenes distintas. (∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)).
• Suprayectiva: f: A → B es suprayectiva si el conjunto final coincide con el conjunto imagen (f(A) = B).
• Biyectiva: f: A → B es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva.
• Función inversa: Si f: A → B es biyectiva, la función inversa f⁻¹: B → A cumple que f⁻¹(x) = y si f(y) = x.

Elementos de una Función

• Dominio: dom(f) = A (o el máximo posible).
• Recorrido/Imagen: im(f) = f(A) = {f(x) / x ∈ A}.
• Gráfica: gr(f) = {(x, f(x)) ∈ ℝ² / x ∈ dom(f)}.

Extremos de Funciones

• Máximo relativo: f(x) en x=a si existe un entorno de a tal que f(a) es la mayor de las imágenes de los puntos de ese entorno.
• Mínimo relativo: f(x) en x=a si existe un entorno de a tal que f(a) es la menor de las imágenes de los puntos de ese entorno.
• Máximo absoluto: f(x) en x=a si f(a) ≥ f(x), ∀x ∈ A.
• Mínimo absoluto: f(x) en x=a si f(a) ≤ f(x), ∀x ∈ A.

Geometría Analítica: La Recta

• Recta que pasa por (x₀, y₀) y (x₁, y₁) (con x₀ ≠ x₁): y = y₀ + [(y₁ – y₀) / (x₁ – x₀)] · (x – x₀)
• Recta que pasa por (x₀, y₀) con pendiente m: y = y₀ + m(x – x₀)

Álgebra de Matrices

Operaciones elementales sobre filas

1. Multiplicar una fila de la matriz por un número real o complejo no nulo.
2. Intercambiar dos filas de la matriz.
3. Sumar a una fila otra multiplicada por un número.

Matriz elemental: La obtenida efectuando una sola operación elemental sobre la matriz identidad.